Jaki będzie wynik nałożenia się dwóch drgań harmonicznych xa oraz xb o kierunkach równoległych, ale różnych częstościach, amplitudach i fazach? Dla zbadania formy tego ruchu złożonego zapiszmy równania ruchu dla obu drgań składowych oraz ich sumę.
(6.39) |
Intuicyjnie przewidujemy, że w chwili czasu, kiedy oba wychylenia są w tym
samym kierunku - otrzymamy wzmocnienie, kiedy w przeciwnym - osłabienie
sumarycznego wychylenia, x.
Rozpatrzmy bliżej szczególny przypadek, kiedy obie częstości różnią się
niewiele. Dla uproszczenia przyjmiemy, że amplitudy i fazy są takie same, a różnica
ich częstości Dw jest niewielka.
(6.40) |
Po dokonaniu przekształceń trygonometrycznych ich suma może być zapisana w postaci
. | (6.41) |
---|
(Dla uproszczenia zaniedbaliśmy Dw /2 w drugim czynniku jako znacznie mniejsze od w.) Wzór ten opisuje także ruch harmoniczny, ale z amplitudą zadaną przez bezwzględną wartość pierwszego czynnika po jego prawej stronie. Amplituda jest teraz także funkcją czasu, ale o częstości znacznie mniejszej, bowiem określonej przez połowę różnicy częstości drgań składowych. Zjawisko to nazywamy dudnieniem.
W ogólnym przypadku, gdy częstości wa i wb różnią się dowolnie, wypadkowy ruch może nie być ruchem harmonicznym, a nawet może nie być ruchem okresowym. Ruch okresowy otrzymamy gdy częstości składowych ruchów spełniają warunek wa/w b= na/nb, gdzie na i nb są liczbami całkowitymi. Oznacza to, że częstości ruchów składowych dają się przedstawić jako całkowita wielokrotność pewnej częstości podstawowej w: (w a=naw, wb= nbw). Jak widać z równań (39), kiedy wa= w b, ruch wypadkowy jest ruchem harmonicznym o takiej samej częstości jak ruchy składowe oraz o amplitudzie i fazie początkowej zależnej od amplitud i faz początkowych obu drgań składowych.
Załączona interaktywna ilustracja graficzna umożliwia modyfikowanie nie tylko różnicy częstości, ale także niezależne zmiany amplitud i faz obu drgań. Sprawdź jak zmiany te wpływają na formę drgań sumarycznych.
MS-Excel | Interaktywna ilustracja graficzna |
Kliknij w polu rysunku. |
Rys.12.4. Położenie, prędkość i przyspieszenie w ruchu harmonicznym. |
Kiedy drgania punktu materialnego odbywają się równocześnie w dwóch prostopadłych do siebie kierunkach, np. wzdłuż osi x i y prostokątnego układu współrzędnych, to wypadkowy ruch tego punktu na płaszczyźnie można opisać z pomocą równań postaci:
(6.42) |
(6.43) |
gdzie j jest różnicą faz obu drgań składowych. Zwróćmy uwagę, że jeśli częstości drgań są jednakowe i różnica faz wynosi zero lub p, to równanie toru punktu będzie odcinkiem prostej o równaniu
(6.44) |
lub odpowiednio
(6.44a) |
Kiedy zaś różnica faz j=± p/2 , to równanie (43) można zapisać jako
(6.45) |
W tym przypadku, gdy wx= w y, układ poruszać się będzie po elipsie, która przejdzie w okrąg kiedy Ax = Ay. Dochodzimy do następującego stwierdzenia.
Jeżeli punkt materialny porusza się ruchem jednostajnym po okręgu w płaszczyźnie (x, y), to ruch jego rzutu na osie układu współrzędnych jest ruchem harmonicznym.
To interesujące stwierdzenie łączy ruch harmoniczny z ruchem jednostajnym po okręgu.
Podana wyżej relacja pomiędzy ruchem harmonicznym i ruchem po okręgu
jest jednak tylko przypadkiem szczególnym składania harmonicznych drgań
prostopadłych. Kiedy częstości drgań w obu kierunkach różnią się, to
punkt tworzy skomplikowane figury zwane figurami Lissajou.
Figury te mieszczą się w prostokącie o wymiarach 2Ax, i 2Ay.
Stosunek liczby punktów stycznych do obu boków prostokąta wyznacza stosunek
częstości obu ruchów składowych wx/wy
= nx /ny. Rysunek poniżej pokazuje przykład
takich figur. Całą ich "gamę" możesz wygenerować sam za pomocą załączonej
interaktywnej ilustracji graficznej
MS-Excel | Interaktywna ilustracja graficzna |
Kliknij w polu rysunku. |
Rys.12.4. Przykład figury Lissajou. |