KADD 2022 Laboratorium 11 EN

From Łukasz Graczykowski

---

Revision as of 11:24, 23 May 2022

Zadanie

Least-squares method (5 pkt.)

Using the least-squares method, fit to the data polynomials of varying degrees n=0..5.

• Please read data from the following file. They come from the experiment of elastic collisions of negatively charged K mesons (kaons) with protons, at constant K meson energy. In the first column there are values of the cosine of the scattering angle in the rest mass reference frame, in the second column is the corresponding number of collisions. As errors please assume the square root of the number of observations. The degree of fitted polynomial allows to calculate sge Jeżeli otrzymany rozkład ma postać wielomianu, to wyznaczenie jego stopnia umożliwia wyznaczenie spinowych liczb kwantowych występujących stanów pośrednich ("Analiza danych", S.Brandt, Przykład 9.2.).

• Proszę zaimplementować funkcję realizującą procedurę dopasowania metodą najmniejszych kwadratów. W tym celu należy wykorzystać wzory (ich wyprowadzenie znajduje się w wykładzie 12 (od slajdu 22) oraz w instrukcji) - proszę dokładnie przeczytać tę instrukcję - zadanie robimy zgodnie z nią:

Komentarz: szukamy minimum funkcji M (odpowiednik statystyki chi-kwadrat), wartości t_{j} to cosinusy kąta rozproszenia (pierwsza kolumna pliku), wartości y_{j} to liczby obserwacji (druga kolumna). Estymatory x to poszukiwane współczynniki wielomianu.

Przykładowy nagłówek funkcji:

// Funkcja zwraca wartosc funkcji M
// parametry:
//  st - stopien dopasowanego wielomianu
//  n - liczba pomiarow
//  tj - tablica cosinusow kata rozproszenia
//  yj - wyniki pomiarow
//  sigmaj - bledy pomiarow
//  wsp - tablica do ktorej nalezy wpisac wartosci wyznaczonych wspolczynnikow ()
//  bswp - tablica do ktorej nalezy wpisac bledy wyznaczonych wspolczynnikow (pierwiastki kwadratowe z elementów diagonalnych macierzy  )
double dopasuj (int st, int n, double *tj, double *yj, double *sigmaj, double *wsp, double *bwsp);

Do zaimplementowania powyższych wzorów wygodnie jest skorzystać z klasy TMatrixD. Przykłady jej użycia:

// utworzenie macierzy o wymiarach n x m
TMatrixD *macierzA = new TMatrixD(n,m);

// dostep do elementu o indeksach i,j macierzy macierzA, np.:
(*macierzA)(i,j) = 1;

// mnozenie macierzy: macierzA = macierzB macierzC
TMatrixD *macierzA = new TMatrixD(*macierzB, TMatrix::kMult, *macierzC);

// transponowanie macierzy
TMatrixD *macierzAt = new TMatrixD(TMatrix::kTransposed,*macierzA);

// odwracanie macierzy
macierz->Invert();

• Proszę zinterpretować otrzymane dopasowania przeprowadzając test chi-kwadrat (korzystając z wyznaczonej wartości funkcji M). Należy określić stopień wielomianu, dla którego dopasowanie jest najlepsze oraz wyznaczyć najmniejszy stopień wielomianu, którego nie możemy odrzucić. Proszę wypisać wartości wyznaczonych współczynników wielomianu.

Wynik

Output:

 Dopasowanie wielomianem stopnia 0
 M = 833.548
 x0 = 57.8452 +- 2.4051
 Liczba stopni swobody=9
 Kwantyl=21.666
 Poziom istotnosci=0.01
 Stopien 0: odrzucamy

 Dopasowanie wielomianem stopnia 1
 M = 585.449
 x0 = 82.6551 +- 2.87498
 x1 = 99.0998 +- 6.29159
 Liczba stopni swobody=8
 Kwantyl=20.0902
 Poziom istotnosci=0.01
 Stopien 1: odrzucamy

 Dopasowanie wielomianem stopnia 2
 M = 36.4096
 x0 = 47.267 +- 3.24753
 x1 = 185.955 +- 7.30235
 x2 = 273.612 +- 11.6771
 Liczba stopni swobody=7
 Kwantyl=18.4753
 Poziom istotnosci=0.01
 Stopien 2: odrzucamy

 Dopasowanie wielomianem stopnia 3
 M = 2.84989
 x0 = 37.949 +- 3.62403
 x1 = 126.546 +- 12.5894
 x2 = 312.018 +- 13.4278
 x3 = 137.585 +- 23.7499
 Liczba stopni swobody=6
 Kwantyl=16.8119
 Poziom istotnosci=0.01
 Stopien 3: akceptujemy

 Dopasowanie wielomianem stopnia 4
 M = 1.68602
 x0 = 39.6179 +- 3.94036
 x1 = 119.102 +- 14.3563
 x2 = 276.49 +- 35.5643
 x3 = 151.91 +- 27.2096
 x4 = 52.5999 +- 48.7566
 Liczba stopni swobody=5
 Kwantyl=15.0863
 Poziom istotnosci=0.01
 Stopien 4: akceptujemy

 Dopasowanie wielomianem stopnia 5
 M = 1.66265
 x0 = 39.8786 +- 4.29351
 x1 = 121.384 +- 20.7054
 x2 = 273.188 +- 41.6103
 x3 = 136.571 +- 103.954
 x4 = 56.8995 +- 56.2858
 x5 = 16.7294 +- 109.424
 Liczba stopni swobody=4
 Kwantyl=13.2767
 Poziom istotnosci=0.01
 Stopien 5: akceptujemy