KADD 2019 Laboratorium 10

From Łukasz Graczykowski

Zadanie

Weryfikacja hipotez statystycznych (5 pkt.)

• Przeprowadzono eksperyment naświetlania wodorowej komory pęcherzykowej wiązką fotonów w celu badania oddziaływań fotonów z protonami. Fotony powodują powstawanie par elektron-pozyton, które mogą być wykorzystane do monitorowania wiązki fotonów. Częstość występowania zdjęć z 0,1,2,... parami elektron-pozyton powinna podlegać rozkładowi Poissona. Należy wczytać dane z pliku (w pierwszej kolumnie znajduje się liczba par elektronowych na zdjęciu k, a w drugiej liczba zdjęć zawierających k par elektronowych). Widzimy, że rozkład ten przypomina rozkład Poissona - próbujemy zatem obliczyć estymator największej wiarygodności dla parametry rozkładu Poissona (patrz Wykład 11 slajd 14) (1 pkt.)

• Narysować na jednym wykresie punkty pomiarowe i dopasowanie (metodą estymatora największej wiarygodności i funkcją Fit z ROOT'a użytą z parametrami "LR" - dopasowanie metodą największej wiarygodności). Funkcja TF1 do rysowania (i dopasowania ROOT'em) to TMath::PoissonI (1 pkt.)

• Sprawdzić jakość dopasowania za pomocą testu χ2. W tym celu należy zaimplementować funkcję obliczającą statystykę testową χ2 zgodnie z wzorem

gdzie: nk - liczba obserwacji w k-tym binie, npk - przewidywana przez teorię liczba przypadków w k-tym binie tj.:

// h - histogram danych
// g - przewidywanie "teoretyczne"
double chi2(TH1D *h, TF1 *f);

• Okreslić liczbę stopni swobody i obliczyć wartość statystyki testowej. (1 pkt.)

• Zaimplementować funkcję zwracającą wynik testu χ2 na zadanym poziomie istotności α tj.:

// true - brak podstaw do odrzucenia hipotezy
// false - sa podstawy do odrzucenia hipotezy
// Parametry:
// T - wartosc statystyki testowej chi2
// alpha - poziom istotnosci
// ndf - liczba stopni swobody rozkladu chi2
bool testChi2(double T, double alpha, int ndf);

Wykorzystując zaimplementowaną funkcję zweryfikować hipotezę mówiacą, że dane pomiarowe podlegają rozkładowi Poissona. Dobrać odpowiednią wartość poziomu istotności. Uwaga! Kwanyl możemy odczytać z policzonej na ostatnich zajęciach dystrybuanty. (2 pkt.)

Uwagi

• Nasze zadanie to ręczne przeprowadzenie czynności wykonywanych automatycznie przez funkcję Fit.
• Zadanie zawiera w sobie dwie części: wyznaczenie parametru rozkładu Poissona metodą największej wiarygodności (maximum likelihood), szukając estymatora o najniższej wariancji. Czytamy zatem: Wykład 9 link - o metodzie największej wiarygodności, od początku do slajdu 24 (to są części teoretyczne z wyprowadzeniami), dalej Wykład 10 link
• Funkcja wiarygodności to ogólnie rzecz biorąc funkcja rozkładu prawdopodobieństwa dla parametrów badanego rozkładu, okreslana na podstawie próby losowej (jeżeli badamy np. rozkład wzrostu Polaków f(x), gdzie X to zmienna losowa okreslająca wzrost Polaków, np. rozkład Gaussa o dwóch parametrach (średnia, odchylenie), to L będzie funkcją wiarygodności, rozkładem prawdopodobieństwa parametrów średniej i odchylenia -> szukamy maksimum funkcji L, które da nam najbardziej wiarygodne wartości parametrów średnia i odchylenie funkcji f(x))
• Szukanie parametrów metodą największej wiarygodności polega na rozwiązaniu równań wiarygodności, które są niczym innym tylko warunkami koniecznymi na istnienie maksimum funkcji L (zgodnie z analizą matematyczna - liczymy odpowiednie pochodne)
• Dla rozkładu Poissona estymator o najniższej wariancji otrzymany metodą największej wiarygodności wynika z rozwiązania równania wiarygodności (jedno równanie, bo jeden parametr Lambda) - slajd 14 na Wykładzie 11 link
• Druga część, po znalezieniu estymatora o najniższej wiarygodności, polega na przeprowadzeniu testu chi-kwadrat. W tym celu czytamy dokładnie Wykład 11 (zwłaszcza slajdy 7-16) link.
• Na wykresie poniżej (histogram) są dwie linie - niebieska i czerwona. Jedna z nich to dopasowanie dokonane automatycznie funkcją Fit, druga to ręczne dopasowanie sposeb powyżej.
• Do rozkładu Poissona w postaci takich "schodków" stosujemy funkcję TMath::PoissonI (link)

Wynik

Output:

FCN=5.75356 FROM MIGRAD    STATUS=CONVERGED      29 CALLS          30 TOTAL
                    EDM=5.17016e-07    STRATEGY= 1      ERROR MATRIX ACCURATE 
 EXT PARAMETER                                   STEP         FIRST   
 NO.   NAME      VALUE            ERROR          SIZE      DERIVATIVE 
  1  p0           3.55268e+02   1.88558e+01   3.25727e-02   3.68816e-05
  2  p1           2.33737e+00   8.17264e-02   1.40382e-04  -2.26405e-03
                              ERR DEF= 0.5

Lambda najwiekszej wiarygodnosci: 2.33239
Lambda (ROOT Fit): 2.33737
chi2 (wartosc statystyki testowej T): 10.5336
chi2/NDF: 1.7556
chi2 (ROOT Fit): 9.85507
chi2 (ROOT Fit)/NDF: 1.40787
Poziom istotnosci alpha: 0.01
Wynik testu: nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy