Wykład jest przeglądem najnowszych osiągnięć
w zakresie nowej interdyscyplinarnej nauki o sieciach. Obserwowane na przełomie ostatnich lat duże
zainteresowanie dynamiką układów złożonych o architekturze sieciowej, oraz mnogość podejmowanych
inicjatyw interdyscyplinarnych z tego zakresu są w dużym stopniu motywowane dużym rosnącym strategicznym
znaczeniem tych układę.
Badania nad strukturą sieci, niezawodnością funkcjonowania tych układów oraz
ich odpornością na celowe ataki i przypadkowe defekty mają wielkie znaczenie praktyczne w wielu działach
nauki i techniki. Dzięki takim badaniom możliwe jest nie tylko prognozowanie dalszego wzrostu sieci,
ale też mądre gospodarowanie zasobami tych układów oraz formułowanie procedur postępowania w sytuacjach
kryzysowych. Wyżej wymienione zagadnienia stanowią treść proponowanego wykładu.
Plan wykładu
I. Wstęp
Złożoność oddziaływań i zjawisk we współczesnym świecie. Uniwersalność modeli sieciowych.
II. Podstawy matematyczne modeli sieciowych
Teoria grafów, grafy regularne, grafy przypadkowe, teoria Erdősa - Rényi, grafy skierowane i nieskierowane,
drzewa, model Cayleya, ścieżki, drogi, pętle, funkcje generujące. Parametry geometryczne
i statystyczne sieci, macierz sąsiedztwa Aij, widmo grafu, średnia droga l(N), rozkład stopni
wierzchołków P(k), współczynnik gronowania, C(N), samopodobieństwo sieci, korelacje w sieci.
III.Model sieci ewoluujących BA (Barabasi, Albert)
Reguły wzrostu sieci i preferencyjnego przyłączania, analiza za pomocą równania ciągłości,
równania wzrostu oraz równania master, porównanie modelu z danymi empirycznymi, graniczne przypadki modelu.
IV. Sieci małych światów
Dane empiryczne - reguła sześciu stopni separacji. Model Wattsa - Strogatza, definicja modelu,
analiza podstawowych własności l(N), P(k), C(N).
V. Przykłady i własności sieci rzeczywistych
Internet (powiązania między komputerami i powiązania pomiędzy domenami), WWW
(powiązania dokumentów hipertekstowych), sieci komunikacyjne, sieci społeczne
(sieci współpracy naukowców, sieci współpracy aktorów), sieci elektryczne, sieci zależności
pokarmowych, sieci metaboliczne, sieci rzek, sieci lingwistyczne, sieci ekonomiczne, sieci
seksualne, sieci rozmów telefonicznych, sieci neuronowe, sieci cytowań.
VI. Sieci ewoluujące z przyspieszonym wzrostem
Prawa skalowania. Rozkład stopni wierzchołków. Zastosowania do analizy statystyki dochodów ludności.
VII. Modele sieci hierarchicznych
Idea bloków samopodobnych. Fraktalność budowy sieci. Współczynnik gronowania.
VIII. Przejścia fazowe w sieciach samopodobnych
Perkolacja, zależność punktu krytycznego od wykładnika skalowania i wielkości sieci, odporność
Internetu na przypadkowe usterki i celowe ataki. Uporządkowania ferromagnetyczne w sieciach
samopodobnych, teoria pola średniego, temperatura krytyczna. Kondensacja Bosego- Einsteina
w sieciach samopodobnych.
IX. Zastosowania modeli sieci ewoluujących
Modele rozprzestrzeniania się chorób zakaznych, strategie przeciwdziałania epidemiom, metody
routingu (znajdowania najkrótszej drogi w sieciach komputerowych), wirusy komputerowe,
bezpieczeństwo w Internecie; odporność genotypu na mutacje (sieci metaboliczne), równowaga
w sieciach ekologicznych.
