Układ C porusza się względem układu L z prędkością v_o daną wzorem:

(1)

Dla układu C prędkość neutronu v_c’=v’-v_o; prędkość jądra V_c’=v_o; pęd p_c’=mv_c’-MV_c’=0;

Energia jest prostą sumą energii kinetycznych i po zsumowaniu równa :

(2)

Stąd widać zależność energii w układzie C i L:

(3)

Po zderzeniu zgodnie z zasadami zachowania energii i pędu otrzymujemy:

p_c=p_c’=0 (4)

E_c=E_c’-Q (5)

gdzie E_c i p_c energia i pęd po zderzeniu, Q energia wzbudzenia jądra.

Dla zderzeń sprężystych jak pamiętamy Q=0.

Po rozpisaniu pędu i energii we wzorach (4) i (5) za pomocą mas i prędkości przed i po zderzeniu można pokazać, że ponieważ energia przed zderzeniem była dodatnia stąd po zderzeniu musi być także dodatnia, co prowadzi do związku:

(7)

We wzorze (7) określony został warunek zajścia rozpraszania niesprężystego, które jak widać jest reakcją progową, tzn. zachodzi dopiero od pewnej wartości energii.

Aby wyliczyć prędkość neutronu w układzie L do prędkości v_c należy dodać (wektorowo) v_o. Korzystając z tw. kosinusów i podstawiając do wzoru na energię otrzymujemy:

(8)

gdzie oznaczyliśmy γ=v_o/v_c.

Kąt rozproszenia po zderzeniu możemy υ możemy określić ze związków:

(10)

Dla pojedynczego zderzenia neutronu z jądrem nie można określić kąta θ. Można jedynie określić prawdopodobieństwo z jakim kąt θ zawiera się w pewnym przedziale wartości. Stąd można wnioskować, że energia neutronu po zderzeniu E i cosυ sΉ także zmiennymi losowymi ciągłymi (gdyż są to funkcje zmiennej losowej cosθ). Znając gęstość prawdopodobieństwa zmiennej cosθ możemy wyznaczyć gęstości prawdopodobieństw rozkładu energii i kosinusa kąta rozpraszania po zderzeniu. Korzystając z zależności (8) i (10) oraz zależności z rachunku prawdopodobieństwa [2] otrzymujemy następujące wzory:

(11)

gdzie p(cosθ)dθ prawdopodobieρstwo, że kosinus kąta θ będzie się zawierał pomiędzy θ i dθ.

Analogicznie wyznaczyć można gęstość prawdopodobieństwa kosinusa kąta υ.

Dla rozpraszania izotropowego (każdy kierunek ruchu neutronu po zderzeniu jest równie prawdopodobny) otrzymujemy wzór p(θ):

(12)

Znając p(θ) możemy wyznaczyć p(cosθ). Dla rozpraszania izotropowego rozkład energii przyjmuje postać:

(13)

Dla energii:

Jeżeli rozpraszanie jest izotropowe w układzie C, nie izotropowe w układzie L. Możemy przyjąć z pewnym przybliżeniem warunek na zajście rozpraszanie izotropowe w układzie C:

(14)

gdzie E^’_c energia neutronu przed zderzeniem w układzie C, M- masa jądra.

Dla wyższych energii rozpraszanie w układzie C nie jest izotropowe.

To oddziaływanie jest bardzo ważne, ze względu na wykorzystanie w spowalnianiu neutronów (np. w reaktorach termicznych).

Dla pierwiastków lekkich przekrój czynny na rozpraszanie sprężyste (prawdopodobieństwo zajścia takiej reakcji) jest w pewnym przybliżeniu stały od energii termicznych (neutron pozostaje w równowadze termodynamicznej z ośrodkiem) aż do energii rzędu kilku MeV. Dla tej energii występują szerokie rezonanse (zależność przekroju czynnego od energii przypomina w przybliżeniu powtarzającą się krzywą rezonansową, zależność ta posiada wiele maksimów). Przekrój czynny na rozpraszanie dla jąder ciężkich jest dużo mniejszy i jest stały także poza zakresem energii, gdzie występują rezonanse.

Rozpraszanie dla jąder lekkich jest izotropowe do energii około 1MeV(układ C). Możemy nasze rozważania z poprzedniego punktu znacznie uprościć.

(15)

(16)

(17)

(18)

dla .

Średni cosυ (kosinus kąta rozpraszania w układzie L dany jest wzorem:

(19)

Tak więc nie jest to rozpraszanie izotropowe, wyróżniony jest kierunek “do przodu”. Im większe A, tym mniejsza średnia wartość cosυ, a wiκc tym bliżej jesteśmy rozpraszania izotropowego.

Średni logarytmiczny dekrement energii (różnica logarytmów lub logarytm stosunku energii początkowej i końcowej) definiowany jest jako:

(20)

Średni logarytmiczny dekrement energii pokazuje nam efektywność rozpraszania (moderator, czyli substancja spowalniająca jest tym efektywniejsza im mniejszy jest dla niej ξ). Wartość ξ maleje wraz ze zwiększaniem A. Stąd wniosek, że najefektywniejsze rozpraszanie będzie dla wodoru.

Tak jak było to wspomniane wcześniej, rozpraszanie niesprężyste jest reakcją progową. Jej zajście jest warunkowane minimalną energią, daną wzorem (7). Energia progowa zależy od poziomu wzbudzenia, stąd możliwość zajścia tej reakcji określona jest pierwszym (najniższym) poziomem wzbudzenia. Dla jąder lekkich poziomy te są stosunkowo wysokie (np. węgiel C¹² 4,43 MeV), a energia progowa zgodnie z zależnością (7) jest jeszcze wyższa ( dla węgla 4,80 MeV). Rozpraszanie niesprężyste jest zaniedbywalnie małe dla tych jąder w porównaniu z rozproszeniem sprężystym. Podobnie kształtuje się ta zależność dla jąder magicznych. Natomiast jądra ciężkie mają poziomy wzbudzenia położone blisko siebie, w badaniach otrzymuje się ciągłe widmo neutronów. Teoretyczny opisu teoretycznego można stosować model kroplowy, przy założeniu, że neutrony rozproszone “wyparowują” z jądra. Otrzymuje się wtedy wzór przybliżony:

(21)

gdzie temperatura jądrowa.

Poniżej zaprezentowany jest wykres zależności gęstości prawdopodobieństwa od energii dla jąder ciężkich.