5. Rozkład Poissona przy dużych wartościach średniej m.

Wspominałem, że  średnia m dla rozkładu Poissona zależy od dwóch parametrów - czasu pomiaru t oraz intensywności  promieniowania l - zgodnie ze wzorem m = lt.

Na znajdującym się niżej obrazku widać zmiany kształtu rozkładu wraz ze wzrostem średniej.

Animacja
Rysunek: Zależność kształtu rozkładu od średniej m
Staje się ono coraz bardziej rozmyty oraz symetryczny względem punkty k = m. Dla >>1 obserwujemy prawie pełną symetrię.


Można wykazać, że dla dużych wartości średniej rozkład Poissona jest  prawie identyczny z innym rozkładem prawdopodobieństwa zwanym rozkładem Gaussa, którego postać jest następująca:

Poniższy przypadek pokazuje kształt obu rozkładów dla m = 75.

rysunek m75
Rysunek: Rozkład Gaussa i Poissona dla m=75 (aby powiększyć kliknij)

J est to rozkładach prawdopodobieństwa  dla zmiennych losowych typu ciągłego, podczas gdy my do tej  pory zakładaliśmy, że k może być jedynie liczbą  naturalną. Przejście do rozkładu ciągłego można jednak  uzasadnić. Wielkość f(k)dk określa   prawdopodobieństwo,że liczba cząstek jest w "nieskończenie małym" przedziale (k,k+dk) . Jeżeli interesuje nas przypadek w którym m jest bardzo  duże (np. rzędu 1000) to dk liczące kilka jednostek w  porównaniu z k, które bliskie m, możemy uważać za   wielkość "nieskończenie małą".

Jak widać funkcja f(k) zależy od dwóch parametrów a i b, natomiast rozkład  Poissona jest opisany jedynie przez średnią m. Można   pokazać , że dla rozkładu Gaussa wielkość ta jest równa średniej, zaś parametr b wariancji. Ponieważ przejście  między oboma rozkładami jest ciągłe to a = b = m  i rozkład Gaussa ma postać.

Jest jeszcze jeden problem, rozkład Gaussa opisuje zdarzenia losowe, które mogą przyjmować również wartości ujemne. Na szczęście funkcja f(k) bardzo szybko maleje wraz ze zwiększaniem się |k-m| i już nawet dla małych dodatnich k jest praktycznie równa zeru. Dla  przykładu dla m = 50 otrzymujemy f(6)= 2.2*10-10 kiedy f(41)= 2.5*10-2 czyli ostatnia wartość jest około 10-7 raz większa.


Można pokazać że     zarówno rozkład Poissona jak i rozkład Gaussa są unormowane .

Przy określaniu prawdopodobieństwa, że wielkość (k-m) jest w przedziale możemy wykorzystać fakt, że dla rozkłady Gaussa wielkość ta równa się:

gdzie: F to funkcja Gaussa .


Spis treści reka