Równoważność masy i energii

Przypomnijmy wzór (3.2a)  wyrażający drugą zasadę dynamiki Newtona.

	(10.21)

Napisaliśmy go zakładając "że masa ciała podczas ruchu pozostaje stała". Założenie to trwało od czasu Newtona przez ponad dwa wieki. W swej szczególnej teorii względności Einstein odstąpił od tego założenia przyjmując, że masa ciała rośnie wraz ze wzrostem jego prędkości

	(10.22)

gdzie m₀ nosi nazwę masy spoczynkowej, ponieważ  m=m₀  gdy prędkość równa jest zeru.

W rezultacie, wartość pędu nie będzie proporcjonalna do prędkości ciała, ale będzie rosnąć szybciej

	(10.23)

Uwzględniając taką zależność pędu od prędkości możemy zapisać drugą zasadę dynamiki w postaci relatywistycznej

	(10.24)

Widzimy,  że siła nie jest już proporcjonalna do przyspieszenia. Co więcej, jeśli  kierunek prędkości nie będzie taki sam jak kierunek siły, to i kierunek przyspieszenia będzie różny od kierunku siły. Jeśli zaś prędkość będzie się zbliżać do prędkości światła, to przyspieszenie będzie dążyć do zera. W rezultacie prędkość ciała nie będzie mogła osiągnąć prędkości światła, chociaż pęd będzie mógł wzrastać nieograniczenie. Widzimy jednak, że kiedy prędkość jest dużo mniejsza od prędkości światła, to masa jest bliska masie spoczynkowej i prawa ruchu Newtona są wystarczająco dobrze spełnione.

Dla wyrażenia energii w postaci relatywistycznej obliczymy pracę, jaką wykonuje siła na danej drodze. Praca przy elementarnym przemieszczeniu równa jest przyrostowi energii kinetycznej ciała i wyraża się poprzez iloczyn skalarny siły i przemieszczenia

	(10.25)

Praca wykonana na drodze stanowi całkę, którą zapiszemy w postaci

	(10.26)

Zastosowaliśmy tu wzór na całkowanie przez części .  Teraz skorzystamy z faktu, że dla dowolnego wektora zachodzi związek oraz, że tj. czynnik stały można wyłączyć przed znak różniczki. Mamy więc gdzie w końcowym wyrażeniu wykonaliśmy mnożenie i dzielenie przez c², co nie zmienia wartości wyrażenia. Masa m₀ jako stała została z kolei wyłączona przed znak całki, zaś . Podstawiając za x wyrażenie v²/c² otrzymujemy

	(10.27)

Wynik ten pokazuje, że przyrost energii kinetycznej jest różnicą masy relatywistycznej i masy spoczynkowej pomnożonych przez kwadrat prędkości światła - pokazuje więc związek masy z energią. Wielkość nazywa się energią całkowitą, a energią spoczynkową. Mamy więc następujący związek (10.28) Uzyskaliśmy słynny związek Einsteina pokazujący równoważność masy relatywistycznej  i energii całkowitej, która jest sumą energii kinetycznej i spoczynkowej (10.29)

Warto dodać, że Einstein uogólnił ten związek na przypadek gdy energię całkowitą stanowi energia spoczynkowa, kinetyczna i wszelkie inne formy  energii.

Kiedy prędkość jest znacznie mniejsza niż prędkość światła to energię kinetyczną możemy wyrazić znanym wzorem E_k=mv²/2. 

Dowodem słuszności związku wyrażającego równoważność masy i energii może być zamieszczone poniżej zdjęcie przedstawiające ponad 1000 cząstek wyprodukowanych w wyniku zderzenia dwóch jąder złota, których sumaryczna energia w układzie środka masy wynosiła 130 GeV (gigaelektronowoltów). Jądra przyspieszone były w specjalnym akceleratorze tzw. zderzaczu  RHIC (Relativistic Heavy Ion Collider) w Brookhaven National Laboratory, w USA.