Sukcesywne rozpady promieniotwórcze

Kiedy powstające w wyniku rozpadu promieniotwórczego jądra są także promieniotwórcze i rozpadają się z charakterystyczną dla nich stałą rozpadu, to następuje sukcesywny rozpad promieniotwórczy. Jeśli także i kolejne generacje jąder są promieniotwórcze - powstaje szereg promieniotwórczy którego końcem jest stabilny izotop nie ulegający dalszym rozpadom. Pomiędzy kolejnymi generacjami  występują związki  określone przez stałe rozpadu poszczególnych izotopów i czas trwania procesu.

Rozpatrzymy najprostszy przykład kiedy izotop "1"  rozpada się ze stałą rozpadu wskutek czego powstaje promieniotwórczy izotop "2" rozpadający się ze stalą rozpadu , zaś izotop "3" będący skutkiem rozpadu izotopu "2" jest stabilny.  Oznaczmy liczby jąder tych izotopów w momencie t=0 przez: N01, N02, N03. Zgodnie z prawem rozpadu promieniotwórczego, wzór ( dla izotopu "1" mamy

(2.2.1)

 Liczba jąder izotopu "2" powiększa się wskutek rozpadu izotopu "1" i pomniejsza wskutek rozpadu ze stałą rozpadu  . Mamy więc

(2.2.2)

Rozpad izotopu "2" prowadzi do powstawania jąder izotopu "3", czyli

(2.2.3)

Rozwiązania tych równań różniczkowych pozwalają wyznaczyć zależność od czasu liczby jąder poszczególnych izotopów. Rozwiązanie równania (2.2.1) ma postać

, (2.2.4)

Znając zależność od czasu liczby jąder pierwszego izotopu możemy wyznaczyć zależność od czasu drugiego wstawiając wyrażenie (2.2.4) do równania (2.2.2). Otrzymujemy wtedy

, (2.2.5)

Postępując tak samo dalej otrzymujemy zależność od czasu liczby jąder izotopu "3"

. (2.2.6)

Zwykle rozpatrujemy proces od momentu, kiedy dla  t=0 mamy wyłącznie N1 jąder izotopu pierwszego zaś N02=N03=0. Wtedy wzory się upraszczają i proces rozpadu sukcesywnego opisują zależności

(2.2.7)

Wzajemne relacje pomiędzy liczbami jąder w procesie rozpadu sukcesywnego oraz zmianami w czasie aktywności obu promieniotwórczych izotopów można prześledzić posługując się interaktywną ilustracją graficzną przedstawioną poniżej.

MS-Excel Interaktywna ilustracja graficzna  

Kliknij w polu rysunku.

Rys. 2.2.1.Rozpad sukcesywny  . Krzywe obrazują liczby jąder poszczególnych izotopów w funkcji czasu. Założone wartości liczbowe wynoszą:

Rysunek 2.2.1 ilustruje wzajemne relacje pomiędzy liczbami jąder w procesie rozpadu sukcesywnego. Liczba jąder izotopu "1" eksponencjalnie się zmniejsza, liczba jąder izotopu "2" początkowo zwiększa się, ale wskutek zmniejszającej się liczby rozpadających się jąder izotopu "1" i rozpadów izotopu "2" następnie zmniejsza się. Liczba jąder izotopu "3" rośnie z czasem.

Jak zmieniać się będzie w czasie aktywność preparatu, w którym zachodzą sukcesywne rozpady? Aktywność, to liczba rozpadów w jednostce czasu. Dla izotopu "1" mamy więc

(2.2.8)

Podobnie dla izotopu "2"

(2.2.9)

Aktywność preparatu A jest sumą aktywności pierwszego i drugiego izotopu (trzeci jest już stabilny). Mamy wiec

(2.2.10)

Często wartości stałych rozpadu znacznie się różnią. Rozpatrzmy kilka przypadków szczególnych.

1. Stała rozpadu izotopu pierwszego jest większa od stałej rozpadu izotopu drugiego, tj.. 

W takim przypadku początkowo zmiana aktywności w czasie określona jest przez stałą rozpadu izotopu pierwszego.  W miarę upływu czasu zwiększa się aktywność izotopu drugiego, a zmniejsza się aktywność pierwszego. Po upływie czasu odpowiadającym kilku okresom połowicznego zaniku izotopu pierwszego, jego aktywność staje się pomijalnie mała i zmiana aktywności preparatu w czasie określona jest przez stałą rozpadu izotopu drugiego. Ilustruje to rysunek 2.

Rys.2.2.2. Zmiana w czasie aktywności preparatu, dla którego . Pokazany na rysunku przykład odpowiada wartościom:

Rozpatrzmy przypadek odwrotny, tj. kiedy stała rozpadu izotopu pierwszego jest mniejsza niż stała rozpadu izotopu drugiego.

2. Stała rozpadu izotopu pierwszego jest mniejsza od stałej rozpadu izotopu drugiego, tj.. 

Początkowo aktywność preparatu rośnie, bowiem wytworzone wskutek rozpadu jąder izotopu pierwszego, promieniotwórcze jądra izotopu drugiego ulęgają szybko rozpadowi. Człon we wzorze () na aktywność izotopu drugiego po kilku okresach połowicznego zaniku tego izotopu staje się znacznie mniejszy od członu pierwszego i może być zaniedbany. Wtedy stosunek aktywności izotopu drugiego do aktywności izotopu pierwszego określony jest wzorem 

 (2.2.11)

czyli nie zależy od czasu. Na wykresie w skali logarytmicznej odpowiada to stałej różnicy punktów na krzywych aktywności obu izotopów dla danej wartości czasu, co ilustruje rysunek 3.

Rys. 2.2.3. Zmiana w czasie aktywności preparatu, dla którego . . Pokazany na rysunku przykład odpowiada wartościom: .

Jako trzeci rozpatrzmy przykład kiedy i przy tym  

3. Stała rozpadu izotopu pierwszego jest dużo mniejsza od stałej rozpadu izotopu drugiego, tj.oraz . 

Bardzo mała wartość stałej rozpadu izotopu pierwszego oznacza bardzo dużą wartość czasu połowicznego zaniku tego izotopu. We wzorze określającym aktywność izotopu drugiego człon , bowiem . Wtedy mamy

 (2.2.12)

Kiedy czas staje się równy kilku czasom połowicznego zaniku izotopu drugiego,  wartość członu staje się zaniedbywanie mała i 

 (2.2.12a)

Wtedy aktywność preparatu będąca sumą aktywności obu izotopów promieniotwórczych jest w przybliżeniu równa podwójnej aktywności izotopu pierwszego

Rys.2.2.4 Zmiana w czasie aktywności preparatu, dla którego i . . Pokazany na rysunku przykład odpowiada wartościom: .

 

Schematy rozpadów promieniotwórczych.

Tablice poniżej przedstawiają schematy wybranych rozpadów promieniotwórczych, które zaczerpnięte są z  książki: J.Araminowicz, K.Małuszyńska, M.Przytuła, Laboratorium Fizyki Jadrowej, PWN, Warszawa (1978).

Objaśnienia oznaczeń na schematach:

1. okres połowicznego zaniku wyrażony w jednostkach: a-lata, d-dni, min-minuty, s-sekundy,

2. rozpady:

3. energie wzbudzenia stanów końcowych (w MeV) - nad kreskami oznaczającymi poziomy wzbudzone,

4. spiny i parzystości początkowych i końcowych stanów- obok poziomów energetycznych lub nad nimi,

5. informacje dodatkowe - wkład procentowy danego rozpadu  i energia emitowanych cząstek w MeV.