KADD laboratorium 7

From MJanik

Contents 1 Zadanie 2 Uwagi 3 Wynik

Zadanie

Część pierwsza: obliczanie liczby Pi (1 pkt.)

Należy napisać funkcję, która oblicza liczbę Pi metodą von Neumanna (jest sztandarowy przykład wykorzystania metody typu Monte Carlo). W tym celu losujemy z rozkładu jednorodnego na przedziale [0,1] dwie liczby x i y, i sprawdzamy, czy wylosowana para mieści się wewnątrz koła o promieniu 1. Następnie używając stosunku par zaakceptowanych (mieszczących się wewnątrz) do odrzuconych (tych, które leżą poza okręgiem) oraz wzoru na pole koła, należy obliczyć liczbę Pi. Ponadto, należy narysować wykres trafień leżących wewnątrz oraz na zewnątrz koła:

• stworzyć dwa obiekty typu TGraph i jeden z nich wypełniać zaakceptowanymi parami (x,y), drugi zaś odrzuconymi. Oba wykresy narysować na jednym panelu,
• dodatkowo można stworzyć obiekt TH1D i wypełnić go zaakceptowanymi wartościami x. Będzie dany rozkładem wyznaczonym ze wzoru na pole koła.

Część druga: generowanie liczb pseudolosowych z dowolnego rozkładu metodą akceptacji i odrzucania von Neumanna (3 pkt.)

Wykorzystana tydzień temu metoda transformacji rozkładu jednorodnego z wykorzystaniem funkcji odwrotnej do dystrybuanty ma ograniczone zastosowanie. Jej zastosowanie jest możliwe tylko wtedy, gdy znana jest jawna postać dystrybuanty oraz można znaleźć funkcję do niej odwrotną. Metoda von Neumanna pozwala wygenerowanie liczb pseudolosowych, gdy znany jest tylko rozkład g(y). W ogólności metoda działa nawet wtedy, gdy funkcja g(y) nie jest rozkładem gęstości prawdopodobieństwa (całka z niej nie wynosi 1). Pozwala to na bardzo szerokie wykorzystanie metody von Neumanna - przede wszystkim do obliczania całek oznaczonych ze skomplikowanych funkcji, gdy ich analityczne scałkowanie jest niemożliwe. Metody tego typu noszą nazwę wspomnianych wcześniej metod Monte Carlo.

Należy stworzyć trzy bardzo podobne funkcje przyjmujące obiekt typu TF1. Powinny one przyjmować funkcję g na przedziale [min,max]:

• double losujVonNeumann(TF1 *g, double min, double max) - funkcja zwraca jedną liczbę pseudolosową z funkcji g(y),
• double wydajnoscVonNeumann(TF1 *g, double min, double max, int n) - funkcja zwraca wydajność metody akceptacji i odrzucania von Neumanna dla danej funkcji g(y) oraz zadanej liczby losowań n,
• double calkaVonNeumann(TF1 *g, double min, double max, int n) - funkcja zwraca całkę oznaczoną (pole powierzchni pod krzywą) z funkcji g(y) na przedzialne [min,max] przy liczbie losowań n.

Część trzecia: metoda akceptacji i odrzucania von Neumanna z funkcją pomocniczą (1 pkt.)

W celu zwiększenia wydajności metody von Neumanna, można posłużyć się ograniczeniem przedziału losowania w postacji zadanej funkcji pomocniczej. W tej części zaimplementować funkcję, która oblicza całkę z funkcji g(y) metodą akceptacji i odrzucania von Neumanna z funkcją pomocniczą s(y):

• double calkaVonNeumannZPomoc(TF1 *g, TF1 *s, double min, double max, int n, double &wydajnosc) - zwraca całkę na przedziale [min,max] oraz dla zadanej liczby losowań n. Ponadto, funkcja powinna zwrócić przez referencję (ponieważ w języku C/C++ funkcja nie może zwrócić dwóch wartości) wydajność tej metody.

Funkcję s(y) dobieramy tak, by zawsze znajdowała się powyżej funkcji g(y) i można z niej było łatwo wygenerować liczbę pseudolosową (na przykład metodą transformacji rozkładu jednorodnego z wykorzystaniem odwrotności dystrybuanty; na wykładzie przykład z funkcją liniową).

Wszystkie obliczenia należy wykonać dla funkcji typu:

Uwagi

• Funkcja kwadratowa i jej odwrotność:

• Metoda Monte Carlo - Wikipedia.
• Wykład 5 z KADD dr hab. inż. Adama Kisiela.

Wynik

Część pierwsza

Output:

 Liczba Pi wynosi: 3.14392

Części druga i trzecia

Output:

Calka: 0.199
Wydajnosc: 0.2072
Calka (metoda z funkcja pomocnicza): 0.198745
Wydajnosc (metoda z funkcja pomocnicza): 0.39749
Calka liczona metoda  Integral: 0.198652