From MJanik
Zadanie
Część pierwsza: liniowy kongruentny generator liczb losowych (1 pkt.)
Należy napisać generator liczb pseudolosowych oraz zapisać wygenerowane liczby do pliku.
Stworzony generator powinien opierać się na wzorze:
x[j+1] = (g*x[j] + c) mod m.
Generator taki nazywamy generatorem LCG - czyli generatorem liniowym kongruentnym. Zadanie pewnej wartości poczatkowej x[0] definiuje nam zatem cały ciąg, który ponadto jest ciągiem okresowym. Okres zależy od doboru parametrów i przy spelnieniu kilku warunków osiąga maksymalnie wartość m. Warunki te to:
-
c i m nie maja wspolnych dzielników,
-
b = g-1 jest wielokrotnoscia kazdej liczby pierwszej p, ktora jest dzielnikiem liczby m,
-
b jest wielokrotnością 4 jesli n tez jest wielokrotnością 4.
Dla uproszczenia należy przyjąć c = 0, otrzymując w ten sposób multiplikatywny liniowy generator kongruentny (MLCG).
- Wartości
g oraz m powinny być łatwe do modyfikacji w programie.
Efektem działania makra powinien być plik nazwa.dat zawierający ciąg wygenerowanych liczb dla zadanych parametrów. Makro należy uruchomić trzy razy, otrzymując trzy pliki: losowe1.dat, losowe2.dat, losowe3.dat, dla parametrów odpowiednio:
-
m=97 i g=23,
-
m=32363 i g=157,
-
m=147483647 i g=16807.
Część druga: test widmowy (1 pkt.)
Należy przeprowadzić test widmowy aby przetestować jakość generatora. By to zrobić należy narysować na płaszczyźnie punkty o współrzędnych (x[n], x[n+1]). Uzyskany obraz utworzy wzór przypominający widmo generatora - stąd nazwa testu.
Jeśli punkty będą rozłożone równomiernie generator można uznać za dobry. Jeśli zdecydowanie widać pewną okresowość - punkty powtarzają się wielokrotnie - generator nie działa poprawnie. Oczywiście na rozłożenie punktów wpływa jedynie dobór parametrów g i m.
- Do tworzenia wykresów widma poleca się użycie obiektów
TH2D.
Wynikiem powinny być trzy wykresy widma.
Część trzecia: generacja liczb losowych oparta na transformacji rozkładu jednorodnego (3 pkt.)
Dowolna funkcja zmiennej losowej jest zmienną losową. Powstaje więc pytanie jaka jest gęstość zmiennej losowej Y jeżeli znana jest gęstość f(x). Zakładamy że prawdopodobieństwo g(y)dy jest równe f(x)dx gdzie dx odpowiada wartością dy. Warunek jest spełniony dla odpowiednio małych dx. Wynika stąd, że:
g(y) = dx/dy f(x)
Teraz jeżeli założymy, że gęstość prawdopodobieństwa f(x) wynosi 1 w 0<=x<=1 i f(x) = 0 dla x<= 0 i x>1 to powyższe równanie możemy zapisać w postaci:
g(y)dy = dx = dG(y),
gdzie G(y) jest dystrybuantą zmiennej losowej Y. Co po całkowaniu daje nam
x = G(y) => y = G^-1(x).
Jeśli zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku pomiędzy 0 i 1 oraz jeśli znana jest funkcja odwrotna G^-1(x) to funkcja g(y) opisuje gęstość prawdopodobieństwa rozkładu zmiennej losowej Y.
Używając tej metody należy wygenerować 10000 liczb z rozkładu:
Dla tau = 2:
- Należy wygenerować 10000 liczb z rozkładu 0 do 1 używając generatora z części pierwszej.
- Analitycznie (na kartce) policzyć dystrybuantę tego rozkładu, a następnie funkcję odwrotną. (1 pkt.)
- Wygenerować rozkład
f(x) - wrzucając wygenerowane wartości do histogramu - korzystając z: (1 pkt.)
- liczb wygenerowanych wcześniej i wczytanych z plików
losowe1.dat, losowe2.dat, losowe3.dat,
- standardowego generatora ROOT'a
gRandom->Rndm(1).
- Narysować na jednym wykresie histogram (odpowiednio unormowany) oraz funkcję teoretyczną
f(x) (obiekt TF1). (1 pkt.)
Uwagi
- Wczytywanie danych z pliku:
ifstream ifile;
ifile.open("dane.dat");
double val;
while(ifile>>val)
{
cout<<val<<endl;
}
ifile.close();
- Zapisywanie danych do pliku:
ofstream ofile;
ofile.open("dane.dat");
for(int i=0;i<N;i++)
ofile<<val<<endl;
}
ofile.close();
Wynik
Przykładowy rozkład dla parametrów:
Przykładowy wynik transformacji rozkładu jednorodnego:
