Pochodna funkcji

Pochodna  funkcji określona jest jako granica stosunku przyrostu funkcji do odpowiadającego mu przyrostu zmiennej niezależnej , gdy przyrost dąży do zera.

(1)

Pochodna funkcji jest także funkcją i oznaczana jest symbolami:  lub lub  . (Oczywiście zauważamy, że  w tym przypadku litera  nie jest zmienną, tylko symbolicznym oznaczeniem; zapis czytamy "de y po de x").

 Rys 1. Geometryczna interpretacja pochodnej. Wartość pochodnej funkcji  w danym punkcie, równa jest tangensowi kąta pomiędzy osią X,  a styczną do krzywej w  punkcie o współrzędnych (x,y). Kąt ten liczy się od dodatniej półosi X w kierunku przeciwnym ruchowi wskazówek zegara. 

Funkcja pokazana jest krzywą koloru niebieskiego; styczna pokazana jest kolorem czerwonym.

Różniczka zmiennej niezależnej - to  przyrost tej funkcji tj. . (Przyrost ten może mieć dowolną wartość dodatnią lub ujemną). 

Różniczka funkcji w danym punkcie - to iloczyn pochodnej pomnożonej przez różniczkę zmiennej niezależnej

(2)

Pochodna cząstkowa funkcji wielu zmiennych względem jednej ze zmiennych, np. określona jest wzorem

  .

 (2)

Przyrost dotyczy tu tylko jednej ze zmiennych niezależnych, zaś pozostałe zmienne są w tym przypadku stałe. Pochodne cząstkowe oblicza się zgodnie z regułami obliczania pochodnych jednej zmiennej, traktując pozostałe zmienne jak stałe.  (Zauważmy, że  w przypadku pochodnych cząstkowych używamy innego symbolu oznaczenia pochodnej pisząc .)

Obliczanie pochodnych funkcji nazywamy różniczkowaniem.

Kilka przykładów pochodnych funkcji elementarnych 
Funkcja Pochodna funkcji   Funkcja Pochodna funkcji
 
 
 
 
 
 

 

Reguły różniczkowania

(Uwaga: Przez oznaczamy funkcje zmiennej  )

1. Pochodna  (lub różniczka) algebraicznej sumy funkcji równa jest algebraicznej sumie pochodnych tych funkcji liczonych dla każdej funkcji oddzielnie, tj.
Wzór:

,    

Przykład:   
 
2. Pochodna (lub różniczka) iloczynu funkcji równa jest takiej sumie iloczynów, że w każdym jej składniku jeden z czynników zastępowany jest swą pochodną.  Dla iloczynu dwóch funkcji mamy:
Wzór:

Przykład:      
 
3.

Stały czynnik ( c ) można wynieść przed znak pochodnej (lub różniczki)
Wzór:
Przykład:
 
4.

Pochodna (lub różniczka) ilorazu funkcji:  
Wzór:

Przykład:    
 
5.

Pochodna funkcji złożonej,  tj.  gdy ,  a  :
 Wzór:

Przykład:  
 
5.

Pochodna cząstkowa funkcji wielu zmiennych   tj.  gdy

 Wzór:

Stosujemy te same wzory jak dla jednej zmiennej traktując wszystkie zmienne po których pochodna nie jest obliczana jako stałe. 
Przykład:

 Objętość walca  jest funkcją dwóch zmiennych: promienia i wysokości . Mamy więc zależność . Obliczmy pochodną objętości walca względem promienia i względem wysokości. 

Jaka treść zawarta jest w tych postaciach pochodnych cząstkowych?
Pochodna względem promienia proporcjonalna jest zarówno do samego promienia jak i do wysokości zaś pochodna względem wysokości od samej wysokości nie zależy, natomiast proporcjonalna jest do kwadratu promienia. Oznacza to, że przyrost objętości przy danej zmianie promienia walca jest tym większy im większa jest wartość samego promienia oraz im większa jest wysokość walca. Zmiana objętości walca przy danej zmianie jego wysokości nie zależy natomiast od tego czy walec był wysoki, czy niski, ale zależna jest od promienia walca i to w drugiej potędze, a dokładniej - od pola powierzchni podstawy walca. 

 

Fizyczna interpretacja pochodnej.

 Rozpatrzmy zależność jakiejś wielkości fizycznej od czasu ( t ); np. położenia ( x ) ciała poruszającego się ruchem zmiennym po linii prostej (samochodu na szosie). Pochodna  oznacza tu szybkość zmiany danej wielkości fizycznej w czasie. Kiedy rozpatrujemy zmianę w czasie położenia ciała, to pochodna (dx/dt) jest prędkością chwilową ciała.

 
Wykonaj teraz test, który pozwoli Ci zrozumieć pojęcie prędkości chwilowej ciała, jako pochodnej położenia względem czasu oraz przyspieszenia, jako pochodnej prędkości względem czasu.
Niebieska krzywa pokazuje zależność położenia od czasu samochodu, który porusza się na prostoliniowym odcinku szosy. Na trasie samochodu zaznaczono szereg punktów oznaczonych literami: a, b, c, d, e.

Odpowiedz:

  1. W których punktach samochód nie porusza się?
  2. W którym punkcie prędkość samochodu jest największa?
  3. W którym punkcie samochód porusza się do tyłu?
  4. Pomiędzy którymi punktami wartość prędkości samochodu wzrasta?
  5. Pomiędzy którymi punktami wartość prędkości maleje?
  6. Uzupełnij wykresy  na rysunku pokazując jak zależy od czasu w tym ruchu prędkość oraz przyspieszenie samochodu. Dla ułatwienia wykreślono  początek wykresu pokazującego zależność prędkości od czasu. Poprowadź dalej tą krzywą, a na jej podstawie wykreśl zależność przyspieszenia od czasu .