Pamiętamy z lekcji szóstej kursu Fizyka I, że zależność podobna  do wzoru (9.1.7) stanowiła rozwiązanie pewnego równania różniczkowego. Znajdźmy formę równania, którego rozwiązanie stanowić będzie wzór (9.1.7). Podobnie, jak poprzednio sprawdzaliśmy poprawność rozwiązania poprzez obliczenie pierwszej i drugiej pochodnej przemieszczenia względem czasu, obliczmy pochodne zaburzenia y względem położenia x i czasu t.

Przypomnijmy sposób obliczania pochodnej funkcji złożonej. Jest to tzw. reguła łańcuchowa. Jeśli y jest funkcją u, a u jest funkcją x, to

 (9.2.1)

W naszym przypadku 

,

 (9.2.2)

wprowadzając więc zmienną możemy zależność zaburzenia od położenia i czasu zapisać w postaci . Wielkość y jest funkcją dwóch zmiennych, stosować więc będziemy  pochodne cząstkowe. 

Zauważamy natychmiast, że pochodne funkcji u względem położenia i czasu wynoszą 

,

 (9.2.3)

co wykorzystując otrzymujemy

,

 (9.2.4)

Obliczając następnie drugie pochodne otrzymujemy równania

,

 (9.2.5)

Eliminując z tych równań uzyskujemy związek

.

 (9.2.6)

Jest to liniowe równanie różniczkowe, którego rozwiązaniem jest funkcja postaci (9.2.2) oraz kombinacja liniowa, 

.

 (9.2.7)

co wynika z własności liniowych równań różniczkowych. Fizyczna interpretacja rozwiązania w postaci kombinacji liniowej (9.2.7) jest treścią tzw. zasady superpozycji, zgodnie z którą w przypadku rozchodzenia się w tej samej przestrzeni i tym samym czasie dwóch lub więcej fal, wypadkowe zaburzenie jest sumą zaburzeń cząstkowych pochodzących od poszczególnych fal.

Sprawdźmy dla przykładu, ze rozwiązaniem tego równania jest funkcja sinusoidalna postaci (9.1.2). Obliczmy pochodne cząstkowe względem położenia i czasu. 

 (9.2.8)

Porównując drugie pochodne względem położenia i względem czasu zauważamy, że różnią się one jedynie czynnikiem , co jest zgodne z równaniem  (9.2.6).

Równanie (9.2.6) nosi nazwę równania falowego. Dodajmy, że liniowa postać równania falowego, a w konsekwencji i zasada superpozycji, odnosi się tylko do fal o niewielkich amplitudach. Przypadek dużych amplitud opisywany jest przez bardziej złożone równania nieliniowe, których tu nie będziemy rozpatrywać.