Porównując wzory (4.1.3) oraz (1.2.5) widzimy, że natężenie prądu jest po prostu strumieniem wektora gęstości prądu przez powierzchnię S. Rozpatrując ośrodek w którym płynie prąd jako pole wektora gęstości prądu możemy określić ważne własności tego pola.

Wydzielmy w ośrodku gdzie przepływa prąd pewną objętość V zamkniętą przez powierzchnię S. Strumień ładunku wypływający z tej objętości musi być równy ubytkowi ładunku wewnątrz niej, czyli

Rozpatrzmy oddzielnie stronę lewa i prawą tego równania. Lewą stronę możemy zastąpić całką po objętości V korzystając z twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego; wzór (1.4.2).

Ładunek w objętości V  możemy z kolei wyrazić jako całkę z objętościowej gęstości ładunku, wzór (2.2.6) po objętości V.

Biorąc pod uwagę wzory  (4.2.2) oraz (4.2.3) możemy wzór (4.2.1) zapisać w postaci

Wprowadzając różniczkowanie po prawej stronie wzoru (4.2.4) pod znak całki użyliśmy pochodnej cząstkowej, bowiem gęstość ładunku może w ogólności być nie tylko funkcją czasu ale także położenia  w przestrzeni.

Zauważmy teraz, że równanie (4.2.4) powinno obowiązywać dla dowolnej objętości, co jest możliwe tylko wtedy, kiedy dla każdego punktu  w przestrzeni zachodzi związek

Uzyskaliśmy ważną zależność zwaną równaniem ciągłości. Nazwa ta odpowiada bardzo dobrze treści, którą równanie to w sobie zawiera. Lewa strona, czyli dywergencja wektora gęstości prądu informuje o wydajności źródeł prądu - kiedy jest dodatnia, to prąd wypływa z objętości V. W konsekwencji prawa zachowania ładunku musi to prowadzić do zmniejszania się gęstości ładunku w tej objętości w funkcji czasu,  a to właśnie reprezentuje prawa strona tego równania.

Jako przykład rozpatrzmy przepływ prądu stałego. Widzimy natychmiast, że prawa strona równania (4.2.5) równa jest zeru, bo w tym przypadku gęstość ładunku w czasie się nie zmienia. Oznacza to również, że i lewa strona równa jest zeru. Konsekwencją tego jest zaś, że strumień prądu przez powierzchnię zamkniętą musi być także równy zeru zgodnie ze wzorami (4.2.1) i (4.2.2). Zapiszemy więc dwa ważne związki dla sytuacji stacjonarnej, nie zmieniającej się w czasie, czyli dla ośrodka w którym przepływa prąd stały

Obydwa związki są znów bardzo naturalne. Kiedy w przewodniku z prądem stałym wydzielimy zamkniętą powierzchnię to prąd wpływający do niej musi być równy prądowi wypływającemu, czyli sumaryczny prąd wyrażony całką okrężną po całej powierzchni z wektora gęstości prądu musi być równy zeru. Żaden element takiego przewodnika nie jest też źródłem prądu co wyraża drugie równanie mówiące, że dywergencja w każdym punkcie przewodnika równa jest zeru.

Powiedz  teraz czy wyprowadzone tu związki można zastosować także do przepływu wody (?).