Back to Index

 

 

RÓWNANIA MAXWELLA

 

POSTACI RÓŻNICZKOWA I CAŁKOWA

 

 

* Otrzymywanie postaci różniczkowej prawa Faradaya

* Otrzymywanie postaci różniczkowej uogólnionego prawa Ampera

* Otrzymywanie postaci różniczkowej prawa Gaussa dla pola elektrycznego

* Otrzymywanie postaci różniczkowej prawa Gaussa dla pola magnetycznego

* Równania Maxwella - podsumowanie

 

 

STOSUJĄC TWIERDZENIE GAUSSA-OSTROGRADSKIEGO I TWIERDZENIE STOKESA ZAMIENIMY RÓWNANIA MAXWELLA Z POSTACI CAŁKOWEJ DO POSTACI RÓŻNICZKOWEJ

 

Skos: 1. OTRZYMYWANIE POSTACI RÓŻNICZKOWEJ PRAWA FARADAYA

 

Prawo Faradaya – postać całkowa:                            

 

Na podstawie twierdzenia Stokesa zamieniamy całkę liniową (cyrkulację) z lewej strony równania na całkę powierzchniową

 

 

Prawą stronę w prawie Faradaya  możemy zapisać w postaci

 

 

Teraz możemy przyrównać obie całki powierzchniowe

 

 

Stosujemy tutaj pochodną cząstkową ∂B/∂t ponieważ pole B może zależeć także od położenia.  Z równości całek powierzchniowych dla dowolnych powierzchni wynika równość funkcji podcałkowych.

Otrzymujemy więc prawo Faradaya – postać różniczkowa:

 

 

 

Skos: 2. OTRZYMYWANIE POSTACI RÓŻNICZKOWEJ UOGÓLNIONEGO PRAWA AMPERA

 

Uogólnione prawo Ampera – postać całkowa:       

 

Na podstawie twierdzenia Stokesa zamieniamy całkę liniową (cyrkulację) z lewej strony równania na całkę powierzchniową

 

 

Prawą stronę w uogólnionym prawie Ampera  możemy przedstawić jako całkę powierzchniową

 

 

Po uwzględnieniu, że prąd przewodzenia I może być wyrażony przez gęstość prądu j

 

 

prawą stronę zapiszemy jako jedną całkę powierzchniową

 

 

Przyrównujemy teraz do siebie obie całki powierzchniowe

 

 

Aby to równanie było prawdziwe dla każdej powierzchni A, niezależnie od jej rozmiarów i kształtu, funkcje podcałkowe po obu stronach równania muszą być równe.

Otrzymujemy więc uogólnione prawo Ampera – postać różniczkowa::            

 

 

 

 

Skos: 3. OTRZYMYWANIE POSTACI RÓŻNICZKOWEJ PRAWA GAUSSA DLA POLA ELEKTRYCZNEGO

 

 

Prawo Gaussa dla pola elektrycznego – postać całkowa:    

Na podstawie twierdzenia Gaussa – Ostrogradskiego zamieniamy całkę powierzchniową z lewej strony równania na całkę objętościową

 

 

Ładunek Q przedstawimy także jako całkę objętościową z gęstości ładunku ρ:

 

 

Z równości obu całek objętościowych

 

 

otrzymujemy  prawo Gaussa dla pola elektrycznego – postać różniczkowa:

 

 

 

 

Skos: 4. OTRZYMYWANIE POSTACI RÓŻNICZKOWEJ PRAWA GAUSSA DLA POLA MAGNETYCZNEGO

 

Prawo Gaussa dla pola magnetycznego – postać całkowa:           

 

Na podstawie twierdzenia Gaussa – Ostrogradskiego zamieniamy całkę powierzchniową z lewej strony równania na całkę objętościową

 

 

Ponieważ na podstawie prawa Gaussa dla pola magnetycznego obie te całki równają się zeru, to i funkcje podcałkowe tez są równe zeru.. Stąd otrzymujemy od razu prawo Gaussa dla pola magnetycznego – postać różniczkowa:  

 

 

 

Skos: 5. RÓWNANIA MAXWELLA - PODSUMOWANIE

 

POSTAĆ RÓŻNICZKOWA                              POSTAĆ CAŁKOWA

 

 

 

Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego             

 

Twierdzenie Stokesa                                      

 

 

 

 Back to Index