Maciej Mrowiński
Radosław Pieniążek
[					 Rozmiar: 16857 bajtów]
Komputerowe modelowanie procesów fizycznych
Laboratorium Fizyki II
pod opieką prof. nzw. dr hab.Jana Pluty
rok akademicki 2004/2005

Spis treści

1. Magia komputerowej wizualizacji

Jeszcze trzydzieści lat temu, kiedy nasi rodzice studiowali, jedynym dostępnym źródłem wiedzy były książki. Oczywiście i dziś stanowią one podstawę samodzielnej edukacji, jednak szybki rozwój komputerów dostarczył nam zupełnie nowych, potężnych środków. Programy komputerowe posiadają nad papierowymi podręcznikami ogromną przewagę – pozwalają na interakcję z użytkownikiem. Nie musimy ograniczać się tylko do statycznego, biernego przyswajania wiedzy. Dzięki multimedialnym aplikacjom możemy zagłębić się w świat nauki, stać się jego częścią i wpływać na niego. I właśnie taki był cel tego projektu. Chcieliśmy przedstawić efekt Dopplera nie tylko przy pomocy wzorów, ale również wizualizacji – wirtualnej empirii, która potrafi powiedzieć więcej niż tysiąc czarnych znaków na kartce papieru.

Do realizacji naszego projektu wybraliśmy język Java. Pozwala on na łatwe i w miarę bezproblemowe umieszczanie aplikacji w Internecie. Posiada ogromną bibliotekę standardowych pakietów i przejrzystą dokumentację. Jego ogromnym atutem jest również wieloplatformowość, która całkowicie niweluje problem przenośności kodu. Nie ma znaczenia, jakiego systemu operacyjnego używacie – jeżeli tylko istnieje obsługująca go implementacja wirtualnej maszyny Java, będziecie mogli uruchomić napisane w tym języku programy.

Aby uruchomić umieszczone na tej stronie applety, musicie mieć zainstalowaną wirtualną maszynę Java (runtime) co najmniej w wersji 5.0. Możecie ją ściągnąć ze strony SUNa.

2. Efekt Dopplera

2.1 Trochę teorii

Christian Andreas Doppler był Austriackim fizykiem i matematykiem. Urodził się w 1803 roku w Salzburgu. Jak zapewne pamiętacie, XIX wiek to epoka swoistego boomu naukowego1, który spowodował, między innymi, szybki rozwój sieci kolejowych. Maszyny budowane przez człowieka osiągały prędkości, o jakich w poprzednim stuleciu nie śniło się nawet największym fantastom. W latach czterdziestych tego niesamowitego wieku Doppler wykładał na politechnice w Pradze. Kto wie, być może właśnie na stacji kolejowej w tym pięknym mieście zauważył, lub raczej usłyszał, bardzo niezwykłe zjawisko. A my teraz pójdziemy w jego ślady – wprawdzie nie wybierzemy się na żaden dworzec2, lecz spróbujemy wyjaśnić i matematycznie opisać to, co prawie dwa wieki temu zaciekawiło pewnego czekającego na pociąg Austriaka.

[Rozmiar: 107920 bajtów]

Applet wizualizujący opisane w tekście zjawiska. Rozchodzące się białe okręgi są czołami emitowanej przez karetkę fali. Suwak oznaczony jako „Ambulance velocity” pozwala na regulację szybkości karetki, a „Sound velocity” - szybkości dźwięku. Kliknięcie myszką w oknie animacji powoduje wymazanie wszystkich fal.

Zauważcie, że applet pozwala zaobserwować tworzenie się fali uderzeniowej, powstającej, gdy źródło porusza się szybciej od dźwięku (to właśnie ten charakterystyczny „huk”, który słyszymy, kiedy przelatuje w naszym pobliżu samolot ponaddźwiękowy).

Opis efektu Dopplera zaczniemy nietypowo – do czegoś, co na pierwszy rzut oka nie ma z nim nic wspólnego. Powinno to jednak znacznie ułatwić wam zrozumienie zjawiska, gdyż operowanie formalizmem falowym może być na początku odrobinę mylące. Tak wiec – do dzieła! Wyobraźmy sobie strzelca, który celuję z pistoletu w sam środek tarczy. Załóżmy, że jest to strzelec doskonały3 – taki, który nigdy nie pudłuje i utrzymuje broń ciągle w tej samej pozycji – oraz, że środek tarczy znajduje się dokładnie na poziomie lufy pistoletu. Nasz strzelec, co T sekund, wystrzeliwuje pocisk (jest to specjalny typ futurystycznej amunicji, który dzięki wbudowanym stabilizatorom porusza się w powietrzu zawsze z prędkością vv). Oznacza to, że odległość dzieląca dwa wystrzelone po sobie pociski wynosi

[Rozmiar: 156 bajtów]

W pewnej chwili nasz uniwersalny żołnierz, ciągle strzelając, zaczyna biegnąć z prędkością vs. Jaka teraz będzie odległość pomiędzy dwoma wystrzelonymi po sobie pociskami? Do czasu wystrzelenia kolejnego pocisku, pocisk poprzedni przebędzie drogę λ0 , czyli taka będzie jego odległość od punktu, z którego został wystrzelony. Jednak trzeba wziąć pod uwagę fakt, że w tym czasie strzelec zdążył się przemieścić od tego punktu o vsT. Dwa wystrzelone po sobie pociski będzie więc dzielić droga

[Rozmiar: 186 bajtów]

 I czy nie jest to ciekawe? Przecież, choć strzelec ciągle strzela co T sekund, to w przypadku, gdy pozostaje on w spoczynku, pociski będą dolatywały do tarczy w większych odstępach czasu niż wtedy, gdy biegnie. Z drugiej strony, gdy strzelec będzie biegł w kierunku przeciwnym do tarczy, wówczas

[Rozmiar: 191 bajtów]

czyli sytuacja się odwróci – pociski przy biegnącym strzelcu będą trafiały w większych odstępach czasu, niż przy pozostającym w spoczynku.

Rodzi się dość istotne pytanie – jak to wszystko ma związek z efektem Dopplera? Odpowiedź jest bardzo prosta. Doppler przeprowadził podobno następujący eksperyment: umieścił w pociągu orkiestrę i poprosił ją, aby grała przez cały czas dźwięk o tym samym tonie. Gdy pociąg zbliżał się w jego kierunku z odpowiednio dużą prędkością, Doppler zauważył, że docierający do niego dźwięk ma wyższy ton. Kiedy pociąg zaczął się oddalać, dźwięk stał się niższy. Jak wyjaśnić to dziwne zjawisko? Jak zapewne pamiętacie, dźwięk jest rozchodzącą się w powietrzu falą. Możemy ją opisać, na przykład, harmoniczną funkcją falową

[Rozmiar: 283 bajtów]

Analogia pomiędzy przykładem ze strzelcem i orkiestrą jest prosta. Załóżmy, że strzelec emituje fale o długości λ0 i okresie T – jednym słowem, jest źródłem. Kolejne maksima fali odpowiadają wystrzeliwanym przez strzelca pociskom. Jeżeli źródło pozostaje w spoczynku, wówczas odległość pomiędzy kolejnymi emitowanymi maksimami fali wynosi λ0. Jeżeli jednak źródło porusza się, wówczas dochodzi do zmiany tej odległości

[Rozmiar: 191 bajtów]

czyli de facto do zmiany długości i częstotliwości fali docierającej do obserwatora (tarczy). Intuicyjnie można powiedzieć, że emitowana fala jest kompresowana/rozprężana. Wyraźmy tę zmianę poprzez częstotliwość, korzystając z podanych w rozdziale trzecim wzorów

[Rozmiar: 379 bajtów]


[Rozmiar: 253 bajtów]

Rozpatrzmy teraz bardziej ogólny, trójwymiarowy przypadek, schematycznie przedstawiony na poniższym rysunku

[Rozmiar: 12750 bajtów]

Załóżmy, że źródło porusza się z prędkością

[Rozmiar: 152 bajtów]

gdzie [Rozmiar: 97 bajtów] jest wersorem

[Rozmiar: 235 bajtów]

Źródło z obserwatorem łączy promień wodzący [Rozmiar: 148 bajtów]. Otrzymany poprzednio wzór na dopplerowską zmianę częstotliwości jest dobry również i w trójwymiarowym przypadku, należy jednak się zastanowić nad tym, co rozumiemy przez zawartą w nim skalarną prędkość źródła - będzie to prędkość, z jaką porusza się ono w stronę obserwatora, czyli wartość rzutu jego wektorowej prędkości na wektor promienia wodzącego. Nazwijmy tę prędkość składową radialną

[Rozmiar: 123 bajtów]


[Rozmiar: 453 bajtów]

Zapis

[Rozmiar: 288 bajtów]

oznacza kąt pomiędzy wektorami a i b. Ostatecznie więc, wzór na zamianę częstotliwości spowodowaną efektem Dopplera przybiera postać

[Rozmiar: 476 bajtów]

Aby nie ograniczać się do odrobinę nie intuicyjnych wzorów i symboli rozważmy pewien konkretny przykład. Wyobraźmy sobie, że stoimy na chodniku, oddaleni o dziesięć metrów od ulicy (d = 10 m). Ulicą jedzie, z naszej prawej strony, rower (vs= 25 km/h), karetka (vs= 100 km/h) i motor (vs= 200 km/h). Zamontowano na nich źródła dźwięku o częstotliwości f0= 100 Hz (jego prędkość w powietrzu wynosi vv= 343 m/s). Poniższy wykres przedstawia dochodzącą do nas częstotliwość tego dźwięku (f1) w zależności od drogi s , dzielącej znajdujący się vis-à-vis nas środek ulicy i pojazd.

[Rozmiar: 5507 bajtów]

Jak widać, do obserwowalnej zmiany częstotliwości dojdzie jedynie wtedy, kiedy źródło będzie znajdować się bardzo blisko nas. Aby sprawdzić maksymalną i minimalną słyszalną częstotliwość, policzmy granicę wyznaczonej wcześniej funkcji.

[Rozmiar: 384 bajtów]
[Rozmiar: 731 bajtów]
[Rozmiar: 380 bajtów]
[Rozmiar: 729 bajtów]

Z obliczeń wynika, że istnieją dwie asymptoty poziome, do których dąży funkcja częstotliwości. Co ciekawe, ich równania są dokładnie takie same, jak wyznaczone przez nas wcześniej wzory na jednowymiarowy efekt Dopplera. Należało się tego spodziewać, gdyż kiedy obserwator jest daleko od źródła, wówczas można zaniedbać odległość d , dzielącą go od ulicy. Możemy teraz policzyć zakres częstotliwości (pasmo)

[Rozmiar: 565 bajtów]
[Rozmiar: 310 bajtów]

Dla roweru z naszego przykładu Δf ≈ 4.05 Hz , dla karetki Δf ≈ 16.30 Hz , a dla motoru Δf ≈ 33.27 Hz.

Interesujący jest również sposób, w jaki zmienia się dochodząca do nas (czyli do nieruchomego obserwatora) częstotliwość w zależności od tego, jak daleko stoimy od środka ulicy. Możemy to zaobserwować na poniższym wykresie (s = 50 m)

[Rozmiar: 5856 bajtów]

Jak widać, wraz ze zwiększającą się odległością d , maleje zmiana częstotliwości. Matematyczne wytłumaczenie tego faktu jest bardzo proste

[Rozmiar: 453 bajtów]
[Rozmiar: 643 bajtów]

Intuicja również to potwierdza podpowiadając, że dla obserwatora znajdującego się bardzo daleko od środka ulicy, poruszające się źródło pozostaje w spoczynku – można zaniedbać odległość s.

Opisując efekt Dopplera można zwrócić uwagę na jeszcze jedną możliwość – co się stanie, gdy poruszać się będzie obserwator, a nie źródło. Spróbujmy to sprawdzić. Załóżmy, że obserwator odległy jest o λ od najbliższego maksimum fali i porusza się w jego kierunku z prędkością vo. W pewnym momencie spotkają się w tym samym punkcie, co pozwala napisać nam równanie

[Rozmiar: 175 bajtów]

Obserwator każde kolejne maksimum będzie mijał po czasie t , co oznacza, że z jego punktu widzenia właśnie taki będzie okres docierającej do niego fali.

[Rozmiar: 190 bajtów]

Mamy więc już wszystkie dane do wyznaczenia nowej częstotliwości

[Rozmiar: 206 bajtów]
[Rozmiar: 299 bajtów]
[Rozmiar: 405 bajtów]

Powyższy wzór możemy zapisać w bardziej ogólnej postaci

[Rozmiar: 264 bajtów]

w której znak zależy od tego, czy obserwator porusza się w stronę źródła.

Zastanówmy się teraz, jaką postać przybierze ten wzór w przypadku trójwymiarowym. Tak jak w poprzednio, musimy wyznaczyć prędkość, z jaką obserwator porusza się w kierunku źródła. Intuicyjne byłoby użycie w tym celu wektora łączącego obserwatora ze źródłem, jednak dla spójności wzorów skorzystamy z wektora łączącego źródło z obserwatorem. Będzie to proste, gdyż zachodzi pomiędzy nimi następująca relacja

[Rozmiar: 122 bajtów]

Możemy teraz bez problemu wyznaczyć składową radialną

[Rozmiar: 453 bajtów]

i podstawić ją do wzoru

[Rozmiar: 571 bajtów]

I znowu, aby nie pozostawać jedynie przy samych symbolach, rozpatrzmy pewien konkretny przykład. Trzy pojazdy – rower, karetka i motor – jadą ulicą z prawa na lewo. Jednak tym razem źródło dźwięku f = 100 Hz jest umieszczone na chodniku w odległości d = 10 m od ulicy, a poniższy wykres przedstawia zależność częstotliwości dochodzącej do każdego pojazdu w funkcji jego odległości od znajdującego się vis-à-vis źródła środka ulicy4.

[Rozmiar: 5344 bajtów]

Obliczmy graniczne wartości częstotliwości

[Rozmiar: 390 bajtów]
[Rozmiar: 774 bajtów]
[Rozmiar: 382 bajtów]
[Rozmiar: 763 bajtów]

Tak jak należało się spodziewać, uzyskaliśmy znowu wzory opisujące jednowymiarowy przypadek. Określmy teraz zakres częstotliwości

[Rozmiar: 564 bajtów]
[Rozmiar: 243 bajtów]

Podstawiając dane z przykładu otrzymamy, że dla roweru Δf ≈ 4.05 Hz , dla karetki Δf ≈ 16.20 Hz , a dla motoru Δf ≈ 32.39 Hz. Pora na małe zestawienie wyników. Aby ułatwić ich interpretację i analizę ilościową wprowadźmy pojęcie pasma bezwzględnego

[Rozmiar: 219 bajtów]

zależnego jedynie od prędkości fali i źródła/obserwatora.

[Rozmiar: 65730 bajtów]

Na pierwszy rzut oka, przed wykonaniem jakichkolwiek obliczeń, moglibyśmy pomyśleć, że w obu przypadkach – ruchomy obserwator/nieruchome źródło i nieruchomy obserwator/ruchome źródło – wyniki będą identyczne. W fizyce istnieje wiele procesów, które wykazują taką właśnie symetrię. A jednak efekt Dopplera nie jest jednym z nich. Dla małych prędkości wyniki są prawie takie same, co można intuicyjnie wytłumaczyć tym, że kiedy prędkość vs ze wzoru dla ruchomego źródła

[Rozmiar: 360 bajtów]

jest dużo mniejsza od vv , wówczas nic nie stoi na przeszkodzie, aby zaniedbać jej kwadrat w mianowniku, otrzymując

[Rozmiar: 315 bajtów]

czyli wzór taki sam, jak dla ruchomego obserwatora. Jeżeli nie przemawia do was intuicja, wystarczy rozbić wzór dla ruchomego źródła w szereg Taylora

[Rozmiar: 644 bajtów]

i ograniczyć się do wyrazu liniowego. Tak czy inaczej, osiągniemy ten sam efekt. Jednak wraz ze wzrostem prędkości, kiedy vs w porównaniu z vv nie jest zaniedbywalna, możemy zauważyć wyraźną różnicę pomiędzy otrzymanymi wynikami dla obu przypadków efektu Dopplera. Widać ją wyraźnie na poniższym wykresie (linia „obserwator” oznacza ruchomego obserwatora (vo = 100 km/h), a „źródło” – ruchome źródło (vs = 100 km/h); częstotliwość fali wynosi   f0= 100 Hz).

[Rozmiar: 4948 bajtów]

Pozostało nam już jedynie połączenie uzyskanych poprzednio wyników w całość i napisanie ostatecznego, uwzględniającego ruch zarówno obserwatora jak i źródła, wzoru na efekt Dopplera. W tym celu konstruujemy układ równań

[Rozmiar: 941 bajtów]

do którego doprowadziło nas następujące rozumowanie: nieruchome źródło emituje falę o częstotliwości   f0. Kiedy zaczyna poruszać się z pewną prędkością, dochodzi do zmiany tej częstotliwości dla będącego w spoczynku obserwatora, który odbiera falę o fe. Jeżeli również i obserwator będzie się poruszał, wówczas oba efekty nałożą się – docierająca do niego fe będzie modyfikowana przez jego ruch. W rezultacie uzyskujemy następujący wzór5

[Rozmiar: 5640 bajtów]

gdzie:
f0 – częstotliwość emitowana przez źródło.
vv – prędkość fali (dźwięku).
vs – prędkość źródła.
vo – prędkość obserwatora.
[Rozmiar: 250 bajtów] - kąt pomiędzy wektorem promienia wodzącego a wektorem prędkości źródła.
[Rozmiar: 251 bajtów] - kąt pomiędzy wektorem promienia wodzącego a wektorem prędkości obserwatora.
f1 – częstotliwość odbierana przez obserwatora.

2.2 Efekt Dopplera w astronomii

Pewnie nie raz zastanawialiście się, skąd wiemy tak dużo na temat ciał niebieskich. Przecież na zdecydowanej większości z nich człowiek nawet nie postawił nogi (wyjątkiem jest ziemski księżyc, choć zwolennicy „księżycowej teorii spisku” są pewnie innego zdania). Ich budowa, dzieląca nas odległość - co jest źródłem tych wszystkich informacji? Zaraz spróbujemy odpowiedzieć na chyba jeszcze ważniejsze pytanie: czy obserwowane przez nas sfery niebieskie zbliżają się do Ziemi, czy oddalają? Co więcej - czy wszechświat rozszerza się, czy też może kurczy? Pomoże nam w tym oczywiście efekt Dopplera.

Planety, gwiazdy i galaktyki wysyłają elektromagnetyczne fale świetlne. Czasem same emitują światło (jak w przypadku gwiazd), a czasem tylko odbija się ono od nich (planety). Przypatrzmy się spektrum światła widzialnego

[Rozmiar: 1740 bajtów]

które, jak widać, rozciąga się od barwy czerwonej (odpowiada jej długość  λ = 700 nm) aż do fioletowej (o długości   λ = 380 nm). Oznacza to, że fala o barwie bliżej czerwieni ma mniej „upakowane” maksima, czyli mniejszą częstotliwość, od tej o barwie niebieskiej. Spójrzmy na rysunek

[Rozmiar: 45884 bajtów]

Na górze przedstawiona jest fala, wysyłana przez niebiesko-białą gwiazdę (na przykład taką, jak Sirus), natomiast poniżej - przez czerwoną gwiazdę (jak Arcturus). Różnica jest widoczna gołym okiem. Pamiętacie przykład z biegnącym strzelcem wyborowym? Otóż, z gwiazdami jest podobnie. Poprzez analogie możemy powiedzieć, że strzelają one do nas falami świetlnymi. Kiedy już naukowcy ustalą z czego zbudowana jest gwiazda (z jakich pierwiastków) oraz jaka panuje na niej temperatura, mogą również obliczyć jaką barwą powinna świecić. Porównując te widma (wyznaczone i to, które do nas dociera), możemy powiedzieć, czy jest ono przesunięte ku czerwieni (tzw. red shift), czy ku barwie niebieskiej (blue shift). Jeżeli mamy do czynienia z pierwszym przypadkiem, oznacza to, że dana gwiazda się od nas oddala. Gdy przesunięcie następuje w stronę barwy niebieskiej, gwiazda się do nas zbliża. Znając przesunięcie, można obliczyć prędkość, z jaką się porusza i dzielącą nas odległość. Obserwując oddalające się od nas galaktyki możemy przypuszczać, że wszechświat wciąż się rozszerza.

2.3 Małe zadanie

Skoro wiemy już tyle o efekcie Dopplera, możemy rozwiązać dla wprawy zadanie:

Sytuacja ma miejsce w niedalekiej przyszłości. Fizyk jedzie nowoczesnym, sportowym autem (bo w przyszłości wszyscy fizycy będą bogaci). Dojeżdżając do skrzyżowania przejechał na czerwonym świetle. Został niezwłocznie zatrzymany przez stróża prawa. Oto przebieg ich konwersacji:
- Dzień dobry, panie kierowco. Przejechał pan przez skrzyżowanie na czerwonym świetle, poproszę o dokumenciki.
- Dzień dobry. Jak to na czerwonym, panie władzo? Przecież wyraźnie widziałem światło zielone.
- Nie, nie, z pewnością było czerwone.
- To ja już wiem co się stało, panie władzo – tłumaczy się sprytny fizyk. Najwyraźniej padłem ofiarą efektu Dopplera.
- A rzeczywiście – odpowiada policjant, który, jak zaraz się okaże, „nie jest w ciemię bity”. - Widziałem w Internecie stronę na ten temat. Tylko z tego co tam wyczytałem to musiałby pan rozwinąć doprawdy niebotyczną prędkość. Teraz niech się pan zastanowi, mandat za przejechanie skrzyżowania na czerwonym wynosi 1000€. Natomiast na tej trasie jest ograniczenie do 100 m/s (to jest 360 km/h , w przyszłości zakładamy, że takie prędkości będą osiągalne dla pojazdów osobowych). Mandat za przekroczenie prędkości o 10 m/s wynosi 1€.
- Rozumiem – odpowiada strudzony fizyk, już przeliczywszy sobie w pamięci koszty.
- To jak będzie? Liczymy, czy wyciąga pan kierowca tysiaczka?

[Rozmiar: 65807 bajtów]

Applet wizualizuje sytuację z naszego zadania. Przedstawiony jest na nim prędkościomierz (policyjny radar) i światło drogowe, które na początku ma kolor czerwony. Radar podaje prędkość w megametrach (przedrostek mega odpowiada 1 000 000) na sekundę. Suwak pod obrazkiem pozwala na zmianę prędkości w zakresie od 0 Mm/s do 110 Mm/s. Zaobserwujcie co się dzieje ze światłem, kiedy zwiększa się prędkość…

Algorytm do wyliczenia koloru na podstawie długości fali pochodzi ze strony http://www.cox-internet.com/ast305/color.html

Spróbujmy rozwiązać ten problem: w efekcie Dopplera częstotliwość fali wysyłanej przez źródło różni się od częstotliwości fali odbieranej przez poruszającego się obserwatora. Różnica ta wyraża się wzorem

[Rozmiar: 332 bajtów]

Jak wiadomo c jest prędkością światła i wynosi w dobrym przybliżeniu 3*108 m/s. Szukaną jest v0 , która pozwoli nam policzyć wysokość mandatu x. Danymi są długości odpowiednich fal - o widmie czerwonym (λcz= 700 nm) i zielonym (λz= 520 nm). Ze wzoru

[Rozmiar: 153 bajtów]

możemy policzyć ich częstotliwość. Dla barwy czerwonej

[Rozmiar: 334 bajtów]

Dla barwy zielonej

[Rozmiar: 330 bajtów]

Teraz wystarczy przekształcić pierwszy wzór w następujący sposób

[Rozmiar: 644 bajtów]

Znając prędkość, jaką rozwinął kierowca-fizyk, możemy obliczyć wysokość mandatu x (pamiętając, że ograniczenie na drodze wynosiło vogr= 100 m/s , oraz wprowadzając zmienną przelicznikową a = 1€ / 10 m/s)

[Rozmiar: 284 bajtów]

czyli sto tysięcy €!!! Fizyk oczywiście przyznał się do przejechania przez skrzyżowanie na czerwonym świetle i zapłacił mandat w wysokości tysiąca euro. Jak widać, prędkość, jaką trzeba rozwinąć żeby zaobserwować powyższe zjawisko, jest w istocie zdumiewająco duża - to około 1/3 prędkości światła!

I taka rada na przyszłość… daleką przyszłość - kupujmy samochody co najwyżej ponaddźwiękowe…

3. Wprowadzenie matematyczno-fizyczne dla dociekliwych

Na początku należy odpowiedzieć na podstawowe pytanie – czym jest fala? Zapewne wielu z was słysząc to słowo przywołuje sobie w myślach obraz morza, jeziora lub rzeki. To bardzo dobre skojarzenie. Rzeczywiście, fale w tej postaci były znane ludzkości od pradawnych czasów. Z łatwością potrafimy wyobrazić sobie rozchodzące się w różnych kierunkach „grzbiety”. Jeżeli nie, wówczas zawsze możemy przeprowadzić w domu mały eksperyment: nalać wody do miski i wrzucić do niej, z pewnej wysokości, jakiś przedmiot – chociażby mały kamień. Jednak my, fizycy, bardzo lubimy komplikować proste i intuicyjne zjawiska, dopisując do nich wyszukane teorie…

Tak więc, zgodnie z zasadami sztuki, przedstawmy bardziej ścisłą definicję:

Fala jest zaburzeniem w ośrodku

Musicie przyznać, że brzmi to dość enigmatycznie. Poświęcimy więc teraz kilka chwil na wyjaśnienie tego zdania, gdyż jego zrozumienie stanowi podstawę do naszych dalszych rozważań.

Zacznijmy może od końca, czyli od ośrodków. Rozróżniamy dwa ich rodzaje. Pierwszy, ten najbardziej intuicyjny, to ośrodek materialny. Do tej kategorii zalicza się na przykład wspomniana wcześniej woda, cegła, drzewo, beton… Choć na razie może wydać się wam to odrobinę abstrakcyjne, ośrodkami materialnymi są również wszelkie gazy, włącznie z powietrzem. Drugim rodzajem ośrodków, tym mniej intuicyjnym, są pola. I nie chodzi tu o pola malowane zbożem rozmaitem, wyzłacane pszenicą, posrebrzane żytem, lecz o pola bardziej eteryczne – na przykład elektryczne i magnetyczne.

Wiemy już, czym jest ośrodek, ale co w takim razie oznacza jego zaburzenie? W przypadku pól elektromagnetycznych będą to zmiany w ich natężeniu, natomiast dla ośrodków materialnych – zmiany w ich gęstości.

Zastanówmy się przez chwilę nad tym, jak w sposób ścisły można opisać zjawisko propagacji fali. Musi przecież istnieć mechanizm pozwalający na przedstawienie teorii fal przy pomocy matematyki. W tym celu wyobraźmy sobie jednowymiarową falę, poruszającą się z prędkością vv w stronę ujemnej lub dodatniej części osi. W czasie t fala ta przebędzie drogę równą vvt. Załóżmy, że naszą falę opisuje funkcja

[Rozmiar: 166 bajtów]

Jeżeli chcemy, aby po upływie czasu t fala przebyła drogę vvt , wówczas opisująca ją funkcja musi się w tym samym czasie przesunąć o właśnie taką drogę w kierunku propagacji fali. Jak wiemy, aby przesunąć funkcje o zadaną odległość wystarczy odjąć lub dodać tę odległość do jej argumentu. Argument funkcji falowej przyjmuje więc postać

[Rozmiar: 163 bajtów]

czyli

[Rozmiar: 211 bajtów]

Spróbujemy wydedukować teraz równanie różniczkowe cząstkowe, które opisywałoby taką falę. Na początku policzmy pierwsze i drugie pochodne po x i t.

[Rozmiar: 417 bajtów]
[Rozmiar: 727 bajtów] (*)
[Rozmiar: 457 bajtów]
[Rozmiar: 478 bajtów] (**)

Jeżeli teraz podstawimy równanie (*) do (**) otrzymamy

[Rozmiar: 330 bajtów]

i po jeszcze kilku trywialnych przekształceniach6 dojdziemy wreszcie do celu, czyli równania różniczkowego cząstkowego opisującego jednowymiarową falę

[Rozmiar: 386 bajtów]

Dla spokoju ducha i pewnej sadystycznej przyjemności7 spróbujmy teraz rozwiązać powyższe równanie. Dokonujemy następującej zamiany zmiennych

[Rozmiar: 226 bajtów]

i obliczamy pierwsze pochodne

[Rozmiar: 1532 bajtów]

Korzystając z faktu równości pochodnych cząstkowych8

[Rozmiar: 359 bajtów]

obliczamy drugie pochodne

[Rozmiar: 2836 bajtów]

Gdy podstawimy obliczone przed chwilą pochodne do równania falowego otrzymamy jego postać dla nowych zmiennych ξ i η

[Rozmiar: 256 bajtów]

Jeżeli teraz przez chwilę przyjrzymy się otrzymanemu wynikowi, łatwo dojdziemy do wniosku, że rozwiązaniem tego równania musi być funkcja ψ , której pochodna cząstkowa ze względu na ξ będzie niezależna od η (i na odwrót – pochodna ψ ze względu na η niezależna od ξ)

[Rozmiar: 299 bajtów]
[Rozmiar: 304 bajtów]

Rozwiązaniem jest więc funkcja ψ , stanowiąca zbitek dwóch funkcji, z których każda zależy tylko od jednej zmiennej

[Rozmiar: 408 bajtów]

To rozwiązanie jest jak najbardziej zgodne ze wszystkimi naszymi założeniami. Możemy w takim razie śmiało powiedzieć, że wyznaczone przez nas równanie opisuje jednowymiarową falę.

W ogólności ψ może być dowolną funkcją. Rozróżniamy jednak pewną klasę fal, którymi będziemy szczególnie zainteresowani – są to tak zwane fale harmoniczne. Może je opisywać funkcja falowa zadana następującym wzorem

[Rozmiar: 283 bajtów]

gdzie A to amplituda, k – liczba falowa, a ω to częstość. Dość istotnym parametrem charakteryzującym falę harmoniczną jest długość λ , czyli droga przebywana przez falę podczas jej okresu T. Podamy teraz kilka użytecznych wzorów, których wyprowadzenie z powyższej funkcji falowej nie powinno stanowić dla was większego problemu

[Rozmiar: 158 bajtów] ,f – częstotliwość fal
[Rozmiar: 156 bajtów]
[Rozmiar: 149 bajtów]
[Rozmiar: 182 bajtów]

[Rozmiar: 53776 bajtów]

Applet przedstawia opisaną wcześniej falę harmoniczną. Manipulując dwoma suwakami możecie zmieniać jej długość λ i częstość ω.


1i, zapewne, mających w nim źródło wielu fatalistycznych teorii dotyczących końca ludzkiej rasy i nadejścia ostatecznej ciemności...
2nie możemy wam tego jednak zabronić. Jeżeli tylko chcecie, to wolna droga…
3może być, na przykład, produktem tajnych badań rządowych prowadzonych wspólnie z wrogą szajką porywających krowy kosmitów.
4mówiąc po polsku – jest to praktycznie taki sam przykład, jak poprzednio. Różni się jedynie tym, że zamieniamy obserwatora (teleportujemy go do jadącego pojazdu) i źródło dźwięku (kładziemy je na chodniku tam, gdzie stał obserwator) miejscami.
5możemy go wydrukować, oprawić w ramki i powiesić na jakimś honorowym miejscu w domu lub postawić na kominku.
6wiemy, że trudno wam w to uwierzyć, ale te przekształcenia były naprawdę trywialne.
7głównie dla tego drugiego – fizycy bardzo lubią rozwiązywać równania cząstkowe. Nikt nie wie dlaczego... no, może nikt, oprócz Lwa-Starowicza.
8tak naprawdę, aby te pochodne były sobie równe, muszą istnieć i być ciągłe w punkcie x0. Ale my, fizycy, nigdy się nad tym zbytnio nie zastanawiamy i po prostu zakładamy, że właśnie takie są.