Relatywistyczny związek energii, pędu i masy

Znajdźmy związek relatywistyczny pomiędzy energią, pędem i masą cząstki

Pamiętając, że oraz , że możemy podnosząc te równości do kwadratu zapisać zależność

(10.30)

Podnosząc zaś do kwadratu wzór (10.23) otrzymujemy związek

(10.31)

Wstawiając wyrażenie na kwadrat prędkości ze wzoru (10.30) do (10.31) otrzymujemy

(10.32)

co możemy też zapisać w postaci

(10.33)

lub inaczej

(10.34)

Wzory te są podstawowymi wzorami dynamiki relatywistycznej.

Wzór (10.34) zawiera z lewej strony kwadrat masy spoczynkowej - wielkość, która ma tę samą wartość w każdym układzie odniesienia i stałą w każdym układzie wartość c⁴. Wartość wyrażenia z prawej strony także więc musi być niezależna od ruchu układu, czyli jest taka sama w każdym układzie inercjalnym i jest niezmiennicza względem transformacji Lorentza. Wielkość ta nosi więc nazwę masy niezmienniczej. Wzór (10.34) pozwala na identyfikację cząstek w procesach zachodzących przy wysokich energiach poprzez pomiar ich pędu i energii.

Dla dwóch poruszających się względem siebie układów inercjalnych mamy na podstawie (10.34) zależność

(10.35)

Zapisując kwadrat pędu w postaci

(10.36)

możemy jeszcze inaczej wyrazić związek (10.34)

(10.37)

co oznacza stałość w różnych układach odniesienia powiązanych transformacją Lorentza, długości czterowektora o składowych określonych przez energię i składowe pędu. Czterowektor ten nazywa się czterowektorem pędu.

Transformacja pędu i energii zgodnie z transformacją Lorentza ma podobną postać do transformacji współrzędnych i czasu.

(10.38)

Odwrotna transformacja pędu i energii ma postać analogiczną do wzoru (10.5).