Ruch w układach nieinercjalnych

Z poprzedniego wykładu pamiętamy, że zgodnie z drugą zasadą dynamiki, siła działająca na ciało nadaje mu pewne przyspieszenie. W tej lekcji dowiedzieliśmy się, że ciało pozostające w układzie poruszającym się ze zmienną prędkością, doznaje w układzie nieruchomym szeregu dodatkowych przyspieszeń wynikających z  ruchu układu, w którym się znajduje. Konsekwentnie - skoro ciało to doznaje przyspieszeń - musi nań działać jakaś siła! Zgodnie zaś z trzecią zasadą dynamiki - ciało to musi wywierać siłę reakcji na sąsiadujące z nim przedmioty. Pierwsza zasada dynamiki określa zaś układ poruszający się ze zmienną prędkością  jako układ nieinercjalny.

Zapiszmy równanie Newtona w układzie nieruchomym, inercjalnym (porównaj wzór (7.14))

(7.20)
Analogiczne równanie dla układu ruchomego, mającego przyspieszenie , mieć będzie postać

(7.21)
Siła nie jest jednak żadną konkretną siłą wywieraną na ciało, ale jest konsekwencją przyspieszenia układu ruchomego względem układu nieruchomego. Ta pozorna siła 

(7.22)
zwana jest siłą inercji lub siłą bezwładności. Siły bezwładności występują tylko w układach nieinercjalnych. Rozpatrzymy teraz kilka przykładów.

Siły inercji w ruchu postępowym

 Kiedy siedzimy w pociągu lub autobusie, który rusza lub hamuje - odczuwamy działanie pewnej siły, choć nikt nas nie popycha ani nie ciągnie. Jaki jest mechanizm pojawienia się tej siły? 

Przyspieszenie ciała poruszającego się ruchem postępowym, rozpatrywane w nieruchomym (inercjalnym)  układzie odniesienia  ma postać analogiczną do wzoru (7.12) ale bez członów związanych z ruchem obrotowym.

(7.23)
Drugie prawo Newtona w układzie nieruchomym ma więc postać.

.

 (7.24)
W układzie ruchomym pojawia się siła bezwładności

(7.25)
Siła ta jest skierowana przeciwnie względem kierunku przyspieszenia układu ruchomego i jest proporcjonalna do jego wartości. To przyspieszenie właśnie jest przyczyną jej występowania. Siłę te zapisujemy w postaci

.

 (7.26)

 Ciekawym przykładem  siły bezwładności w ruchu postępowym jest siła działająca na pasażerów w windzie.  Kiedy winda rusza w kierunku ku górze, siła bezwładności skierowana jest ku dołowi sumując się z siłą ciężkości co odpowiada pozornemu wzrostowi naszego ciężaru.  Kiedy winda porusza się w dół mamy relację odwrotną - siła bezwładności odejmuje się od siły ciężkości. Relacje te możemy zapisać w formie

(7.26a)
Kiedy wiec przyspieszenie opadającej windy stałoby się równe przyspieszeniu ziemskiemu siła wypadkowa stałaby się równa zeru, co odpowiadałoby stanowi nieważkości w układzie windy.

 

Siła odśrodkowa w ruchu obrotowym

Weźmy inny przykład. Jesteśmy w lunaparku na karuzeli gdzie "tajemnicza" siła wciska nas w krzesełko. Nic dziwnego - znajdujemy się bowiem w układzie nieinercjalnym. Zastosujmy znów wzór (7.12). Sami nie poruszamy się w układzie ruchomym, bo nie pozwala na to ciasne krzesełko, a  ruch nasz odbywa się ze stałą prędkością kątową. We wzorze (7.12) pozostaje wiec niezerowy tylko ostatni człon, i równanie to w naszym przypadku ma postać
(7.27)
Jest to przyspieszenie (dośrodkowe) jakie ma nasz układ związany z krzesełkiem obracającej się karuzeli.

Siła bezwładności, która się pojawia, podobnie jak i w przypadku przyspieszonego ruchu postępowego, skierowana jest w stronę przeciwną do kierunku przyspieszenia. Siła ta nosi nazwę siły odśrodkowej. Zapiszemy ją w postaci skalarnej pamiętając, że poprzeczna składowa promienia wodzącego w układzie obracającym się to po prostu odległość od osi obrotu (karuzeli), którą oznaczymy symbolem , oraz przypominając sobie związek prędkości kątowej i liniowej w ruchu obrotowym.

(7.28
 
Wartość siły odśrodkowej wynosi więc
(7.29)
Siła ta występuje we wszystkich ruchach po okręgu i ruchach krzywoliniowych.
Rys.7.4. Siła odśrodkowa na kuli ziemskiej

Jednym z takich ruchów jest ruch obrotowy naszej planety. W tym przypadku promień krzywizny ruchu po okręgu określony jest przez szerokość geograficzną w rezultacie czego wartość siły odśrodkowej będzie
(7.30)
gdzie jest promieniem Ziemi, a   jest szerokością geograficzną punktu na kuli ziemskiej. Zależności te ilustruje Rys. 7.4. Zwróćmy uwagę, że siła odśrodkowa nie jest skierowana od środka Ziemi, ale od jej osi obrotu. Siła ta jest największa na równiku, gdzie jej kierunek pokrywa się z kierunkiem siły grawitacji ale  zwrot jest przeciwny. Siła odśrodkowa nie występuje na biegunach.

 

Siła Coriolisa

Czy chodziłeś kiedyś po obracającej się tarczy? Nie jest to zadanie łatwe, bowiem w tym przypadku nie tylko znajdujemy się, ale także i poruszamy się w układzie nieinercjalnym. Nawet gdybyśmy się nie poruszali, działałaby na nas znana nam już siła odśrodkowa. Na ciało poruszające się względem wirującego układu odniesienia działa jednak jeszcze jedna siła zwana siłą Coriolisa. 

Przyjmijmy, że układ nasz (na przykład tarcza) porusza się ruchem jednostajnym po okręgu z prędkością kątową . W tym obracającym się układzie, w stałej odległości od osi obrotu porusza się ciało po obwodzie okręgu  o promieniu z prędkością .  Zapiszmy równanie (7.12) dla naszego przypadku. Pamiętamy przy tym, że tym razem prędkość translacyjna wynosi zero, a prędkość kątowa ma wartość stałą. Wzór na przyspieszenie w układzie nieruchomym ma zatem postać  
(7.31)
Składniki - pierwszy i trzeci po prawej stronie tego wzoru są nam dobrze znane. Pierwszy pojawi się, jeśli ciało porusza się ruchem przyspieszonym w układzie ruchomym, trzeci jest przyspieszeniem dośrodkowym. Drugi człon jest dla nas nowy. 

 

Odpowiadająca mu siła bezwładności zwana siłą Coriolisa ma postać. 
(7.32)
Widać, że siła ta pojawia się  jedynie, gdy ciało porusza się w układzie, który sam jest w ruchu obrotowym. Znak minus oznacza, jak i w poprzednich przypadkach, że siła ta jest skierowana przeciwnie do kierunku przyspieszania; jest bowiem siłą reakcji.

 

 Przyspieszenie to zależy jednak  od relacji pomiędzy kierunkiem ruchu ciała w układzie ruchomym i kierunkiem prędkości kątowej układu ruchomego względem nieruchomego. Kiedy kierunki te są równoległe, siła Coriolisa wynosi zero, co wynika z własności iloczynu wektorowego.  

Rys.7.5. Siła Coriolisa dla dwóch różnych kierunków prędkości w układzie ruchomym.
Rysunek 7.5 ilustruje omawiany przypadek dla dwóch przeciwnych kierunków wektora prędkości (kolor niebieski) oznaczonych indeksami 1a i 1b. W pierwszym przypadku siła Coriolisa skierowana jest do środka okręgu, w drugim, na zewnątrz. Warto zwrócić uwagę, że siła odśrodkowa skierowana jest zawsze na zewnątrz, w związku z czym siła Coriolisa w pierwszym przypadku odejmuje się od niej, w drugim - do niej dodaje. Warto przypomnieć jeszcze raz, że siła odśrodkowa występuje niezależnie od ruchu ciała w obracającym się układzie, także wtedy, kiedy ciało w tym układzie nie porusza się, a siła Coriolisa nie występuje dla ciał będących w spoczynku w układzie ruchomym.
Rys.7.6. Siła Coriolisa na kuli ziemskiej.
Klasycznym przykładem występowania siły Coriolisa jest ruch na powierzchni Ziemi. Ciało spadające swobodnie, którego prędkość skierowana jest pionowo  (patrz Rys.7.6, strzałka fioletowa) doznaje działania siły Coriolisa w kierunku wschodnim (strzałka czerwona). Kiedy poruszmy się wzdłuż równika w kierunku wschodnim lub zachodnim doznajemy siły działającej odpowiednio w górę lub w dół. (Porównaj Rys. 7.5.)  Przy ruchu w kierunkach na północ lub południe, kierunek odchylenia zależeć będzie od tego na której półkuli, północnej czy południowej się znajdujemy. Jeden z takich przypadków pokazany jest na Rys. 7.6. Inne przypadki rozpatrz samodzielnie posługując się rysunkiem 7.6.

Działanie siły Coriolisa ilustruje też tzw. wahadło Foucaulta, którego płaszczyzna drgań zmienia się względem Ziemi, a drgający przedmiot kreśli krzywe mające postać rozety. 

Na zakończenie podsumowująca nasze rozważania uwaga. Pamiętajmy, że pozorne siły bezwładności występują tylko w układach nieinercjalnych. Należy je odróżniać od rzeczywistych sił reakcji, jakie występują, kiedy rozważamy ruch w układzie inercjalnym. Kiedy więc krzesełko na karuzeli doznaje przyspieszenia dośrodkowego dzięki istniejącym więzom, to krzesełko działa na więzy siłą odśrodkową reakcji. Jest to siła rzeczywista. Kiedy jednak usiedliśmy na krzesełku (nieruchomym), a po jakimś czasie (kiedy już jesteśmy w ruchu) stwierdzamy, że jakaś siła popycha nas w kierunku od osi obrotu, choć w dalszym ciągu tak samo jak i na początku jesteśmy na tym samym krzesełku, to znaczy, że znaleźliśmy się w układzie nieinercjalnym i jesteśmy pod działaniem (pozornej w tym układzie) siły bezwładności. Poszukaj więcej podobnych przykładów i przeanalizuj je samodzielnie.