Dla określenia energii potencjalnej ciała musimy najpierw zdefiniować położenie punktu odniesienia względem którego energię tę będziemy określać. Energię potencjalną określamy za pomocą wprowadzonego już pojęcia pracy.
Energia potencjalna ciała w danym punkcie, względem określonego punktu odniesienia, równa jest pracy jaką wykonują siły zachowawcze przy przemieszczeniu ciała z danego punktu do punktu odniesienia.
Nie bez powodu zaznaczyliśmy, że chodzi tu o pracę sił zachowawczych. Praca wykonywana przez siły dyssypatywne powoduje wydzielenie się ciepła, wywołuje różnorodne skutki zewnętrzne i zamienia się na inne niż mechaniczne rodzaje energii. Ta rozproszona energia nie stanowi energii potencjalnej ciała.
Stosując definicję energii potencjalnej do naszego przykładu z narciarzem stwierdzamy że:
|
Uogólniając nasze rozważania możemy związek pomiędzy pracą wykonaną przez siły zachowawcze a wartościami energii potencjalnych w zadanych punktach na torze (oznaczmy je literami A i B) oraz przyrostem energii potencjalnej zapisać w postaci
. | (4.10) |
---|
Wartość i znak pracy siły zachowawczej przy przesunięciu ciała pomiędzy dwoma dowolnymi punktami określają ubytek energii potencjalnej ciała przy tym przesunięciu, tzn. wziętą ze znakiem minus różnicę energii potencjalnej w punkcie końcowym i początkowym.
Dla ilustracji zapiszmy to dla odcinka trasy narciarza pomiędzy punktami 3 i 4.
(4.10a) |
(Jako ćwiczenie własne określ przyrost energii potencjalnej pomiędzy innymi punktami na trasie narciarza.)
Uogólniając nasze rozważania, możemy pracę WAB we wzorze (4.10) zastąpić całką daną wzorem (4.3). Możemy też skorzystać z zapisu różniczkowego wyrażonego wzorem (4.2). Kiedy ruch odbywa się wzdłuż kierunku działania siły, na przykład wzdłuż osi X, możemy zapis wektorowy zastąpić zapisem skalarnym otrzymując związek w postaci(4.10b) |
W dalszej części kursu fizyki wyrazimy ten ważny związek w bardziej ogólnej postaci.
Energię kinetyczną ciała określimy także za pomocą pojęcia pracy. Przekształcimy w tym celu wzór (4.3)
(4.11) |
Dokonaliśmy tu zamiany zmiennej całkowania korzystając ze znanej nam już definicji prędkości (patrz np. wzory (2.15.) lub (2.19) w lekcji drugiej). Zastąpiliśmy także siłę iloczynem masy i przyspieszenia wykorzystując drugą zasadę dynamiki.
Wielkość określona wzorem
nosi nazwę energii kinetycznej ciała o masie m i prędkości u. Związek pomiędzy pracą wykonaną nad danym ciałem, a zmianą jego energii kinetycznej możemy więc zapisać w postaci
Jeśli pracę nad ciałem wykonuje nie jedna, a wiele sił, to zmiana jego energii kinetycznej równa jest pracy wykonanej przez ich siłę wypadkową (patrz wzór (4.4)). Związek pomiędzy pracą wykonaną przez wypadkową działających na ciało sił, a zmianą jego energii kinetycznej - znany jest jako twierdzenie o pracy i energii. Praca wykonana przez wypadkową sił działających na ciało równa jest zmianie jego energii kinetycznej. |
Nie zawsze zmiana ta jest dodatnia. Praca sił grawitacji nad wyrzuconym do góry przedmiotem powoduje zmniejszenie jego prędkości. Podobny skutek wywołują siły tarcia i oporu powietrza. Prace różnych sił działających równocześnie na ciało mogą mieć różny znak. Pamiętać jednak należy, że twierdzenie o pracy i energii odnosi się do pracy wykonanej przez wypadkową wszystkich działających na ciało sił. Zwróćmy też uwagę, że twierdzenie to obejmuje wszelkie działające na ciało siły, włączając w to siły dyssypatywne, jak siły tarcia.
Twierdzenie to ma wielkie znaczenie praktyczne przy rozwiązywaniu problemów, kiedy poszukujemy związku pomiędzy zmianą prędkości ciała a wykonaną nad nim pracą.
Zwróćmy też uwagę, że z podanego wyżej określenia energii potencjalnej i kinetycznej wynika, że jednostki energii są takie same jak jednostki pracy.