Efekt Halla

Ciekawym zjawiskiem, zaobserwowanym przez E. H. Halla jeszcze przed odkryciem elektronu (1879r) jest powstawanie na ściankach przewodnika różnicy potencjałów poprzecznej w stosunku do kierunku przepływu prądu, kiedy przewodnik ten umieścimy w prostopadłym do kierunku prądu polu magnetycznym. Schemat obrazujący mechanizm zjawiska Halla pokazany jest na rysunku 10.4..1. 

Kierunek przepływu prądu wskazują czerwone strzałki. Jeśli nośnikami prądu są ładunki dodatnie, to kierunek ich prędkości wskazuje wektor ; jeśli są to ładunki ujemne, kierunek ich prędkości (pokazany strzałką koloru zielonego) jest przeciwny. Kierunek wektora indukcji magnetycznej wskazują niebieskie strzałki. Zwróćmy uwagę, że kierunek działania siły Lorentza zarówno na dodatnie, jak i na ujemne nośniki będzie taki sam. Kierunek ten pokazuje brązowa strzałka. W rezultacie, po prawej stronie skupiają się ładunki dodatnie bądź ujemne, w zależności od tego jaki jest znak nośników prądu w danym materiale. Zgromadzone już nośniki wytwarzają poprzeczne pole elektryczne, które przeciwstawia się procesowi ich dalszego gromadzenia się. W rezultacie następuje stan równowagi, kiedy działająca na ładunki siła Lorentza będzie zrównoważona przez siłę skierowaną w przeciwną stronę i pochodzącą od wytworzonego przez zgromadzone nośniki pola elektrycznego, które nazywamy polem Halla. Różnica potencjałów odpowiadająca stanowi równowagi  nosi nazwę napięcia Halla.

Rys.10.4..1. Zjawisko Halla

W celu wyznaczenia wartości napięcia Halla przypomnijmy wzór na siłę Lorentza (10.2.2) w przypadku występowania pola elektrycznego i magnetycznego.  Zauważmy, że w przypadku równowagi obie siły musza się równoważyć i siła wypadkowa równa jest zeru, czyli mamy

gdzie przez oznaczyliśmy wartość prędkości ładunków niezależnie od znaku.  Wzór ten zapisaliśmy w postaci skalarnej, bowiem kierunki obu sił się pokrywają, a zwroty są przeciwne. Zależność pomiędzy natężeniem pola Halla i różnicą potencjałów ( napięciem Halla) możemy wyrazić wzorem analogicznym do wzoru (3.2.8) dla kondensatora płaskiego

Podstawiając to do wzoru (10.4.1) otrzymujemy wzór  na wartość napięcia Halla

Prędkość nośników nietrudno powiązać z wartością płynącego przez przewodnik prądu. Wiedząc, że przekrój przewodnika wynosi ,  możemy wartość ładunku przepływającego z prędkością przez ten przekrój w czasie zapisać wzorem

gdzie e jest wartością ładunku elementarnego, a przez n oznaczyliśmy liczbę ładunków elementarnych w jednostce objętości (tak określoną liczbę nazywamy koncentracją nośników).  Dla rozszyfrowania wzoru (10.4.4) zauważmy najpierw, że iloczyn jest ładunkiem zawartym w jednostce objętości przewodnika. Z kolei, element objętości zawiera te ładunki, które w czasie dt przepływają z prędkością  przez powierzchnię S. Jeśli więc ładunek w jednostce objętości równy jest , to ładunek w objętości jednostek wynosi czyli . Dla uzyskania ostatniej z równości skorzystaliśmy już tylko z definicji natężenia prądu,.

Wzór na napięcie Halla może więc być zapisany w postaci

Wielkość nazywamy stałą Halla. Zauważmy, że mierząc napięcie Halla przy znanym natężeniu prądu, indukcji pola magnetycznego i grubości (mierzonej w kierunku wektora) użytej próbki, możemy wyznaczyć wartość koncentracji nośników w materiale próbki oraz ich znak. Wartości te zawiera stała Halla dla danego materiału. Stała ta charakteryzuje materiał i nie zależy od rozmiarów próbki. Widzimy, że napięcie Halla jest odwrotnie proporcjonalne do koncentracji nośników. Dlatego napięcie to osiąga większe wartości w próbkach wykonanych z materiałów półprzewodnikowych, gdzie koncentracja nośników jest mniejsza. Jeśli w danym materiale występują nośniki obu znaków, to znak stałej Halla określa dla jakiego znaku koncentracja nośników jest większa.

Zjawisko Halla wykorzystywane jest szeroko przy pomiarach indukcji pola magnetycznego. Ze wzoru (10.4.5) widzimy, że napięcie Halla jest proporcjonalne do wartości wektora . (W silnych polach magnetycznych (duże B), gdy próbka jest w bardzo niskiej temperaturze (poniżej 1K) i nośniki ładunku mogą się poruszać tylko w płaszczyźnie prostopadłej do wektora (tzw. dwuwymiarowy gaz nośników ładunku) napięcie Halla przestaje zależeć liniowo od i zmienia się skokowo ze wzrostem indukcji magnetycznej. Jest to tzw. kwantowe zjawisko Halla. )

Poniżej pokazana jest przykładowa sonda Halla..