Ruch w układach nieinercjalnych
Z poprzedniej lekcji pamiętamy, że zgodnie z drugą zasadą dynamiki, siła
działająca na ciało nadaje mu pewne przyspieszenie. W tej lekcji dowiedzieliśmy
się, że ciało pozostające w układzie poruszającym się ze zmienną prędkością,
doznaje w układzie nieruchomym szeregu dodatkowych przyspieszeń wynikających
z ruchu układu, w którym się znajduje. Konsekwentnie - skoro ciało
to doznaje przyspieszeń - musi nań działać jakaś siła! Zgodnie zaś z
trzecią zasadą dynamiki - ciało to musi wywierać siłę reakcji na sąsiadujące
z nim przedmioty. Pierwsza zasada dynamiki określa zaś układ poruszający się
ze zmienną prędkością jako układ nieinercjalny.
Zapiszmy równanie Newtona w układzie nieruchomym, inercjalnym (porównaj
wzór (7.14))
|
(7.20) |
Analogiczne równanie dla układu ruchomego, mającego przyspieszenie
, mieć będzie postać
|
(7.21) |
Siła nie jest jednak
żadną konkretną siłą wywieraną na ciało, ale jest konsekwencją
przyspieszenia układu
ruchomego względem układu nieruchomego. Ta pozorna siła
|
(7.22) |
zwana jest siłą inercji lub siłą bezwładności. Siły bezwładności
występują tylko w układach nieinercjalnych. Rozpatrzymy teraz kilka przykładów.
Siły inercji w ruchu postępowym
Kiedy siedzimy w pociągu lub autobusie, który rusza lub hamuje -
odczuwamy działanie pewnej siły, choć nikt nas nie popycha ani nie ciągnie.
Jaki jest mechanizm pojawienia się tej siły?
Przyspieszenie ciała poruszającego się ruchem postępowym, rozpatrywane w
nieruchomym (inercjalnym) układzie odniesienia ma postać
analogiczną do wzoru (7.12) ale bez członów związanych z ruchem obrotowym.
|
(7.23) |
Drugie prawo Newtona w układzie nieruchomym ma więc postać.
. |
(7.24) |
W układzie ruchomym pojawia się siła bezwładności
|
(7.25) |
Siła ta jest skierowana przeciwnie względem kierunku przyspieszenia układu
ruchomego i jest proporcjonalna do jego wartości. To przyspieszenie właśnie
jest przyczyną jej występowania. Siłę te zapisujemy w postaci
. |
(7.26) |
Ciekawym przykładem siły bezwładności w ruchu postępowym jest siła
działająca na pasażerów w windzie. Kiedy winda rusza w kierunku ku górze,
siła bezwładności skierowana jest ku dołowi sumując się z siłą ciężkości
co odpowiada pozornemu wzrostowi naszego ciężaru. Kiedy winda porusza się
w dół mamy relację odwrotną - siła bezwładności odejmuje się od siły ciężkości.
Relacje te możemy zapisać w formie
| (7.26a)
|
Kiedy wiec przyspieszenie opadającej windy stałoby się równe przyspieszeniu
ziemskiemu siła wypadkowa stałaby się równa zeru, co odpowiadałoby stanowi
nieważkości w układzie windy.
Siła odśrodkowa w ruchu obrotowym
Weźmy inny przykład. Jesteśmy w lunaparku na karuzeli gdzie
"tajemnicza" siła wciska nas w krzesełko. Nic dziwnego - znajdujemy
się bowiem w układzie nieinercjalnym. Zastosujmy znów wzór (7.12). Sami nie
poruszamy się w układzie ruchomym, bo nie pozwala na to ciasne krzesełko, a
ruch nasz odbywa się ze stałą prędkością kątową. We wzorze (7.12)
pozostaje wiec niezerowy tylko ostatni człon, i równanie to w naszym przypadku
ma postać
| (7.27)
|
Jest to przyspieszenie (dośrodkowe) jakie ma nasz układ związany z krzesełkiem
obracającej się karuzeli.
Siła bezwładności, która się pojawia, podobnie jak i w przypadku
przyspieszonego ruchu
postępowego, skierowana jest w stronę przeciwną do kierunku przyspieszenia.
Siła ta nosi nazwę siły odśrodkowej. Zapiszemy ją
w postaci skalarnej pamiętając, że poprzeczna składowa promienia wodzącego
w układzie obracającym się to po prostu odległość od osi obrotu
(karuzeli), którą oznaczymy symbolem ,
oraz przypominając sobie związek prędkości kątowej i liniowej w ruchu
obrotowym.
| (7.28
|
Wartość siły odśrodkowej wynosi więc
| (7.29)
|
Siła ta występuje we wszystkich ruchach po okręgu i ruchach krzywoliniowych.
|
Rys.7.4.
Siła odśrodkowa na kuli ziemskiej |
Jednym z takich ruchów jest ruch obrotowy naszej planety. W tym przypadku
promień krzywizny ruchu po okręgu określony jest przez szerokość
geograficzną w rezultacie czego wartość siły odśrodkowej będzie
| (7.30)
|
gdzie jest
promieniem Ziemi, a
jest szerokością geograficzną punktu na kuli ziemskiej. Zależności te
ilustruje Rys. 7.4. Zwróćmy uwagę, że siła odśrodkowa nie jest
skierowana od środka Ziemi, ale od jej osi obrotu. Siła ta jest największa na
równiku, gdzie jej kierunek pokrywa się z kierunkiem siły grawitacji ale
zwrot jest przeciwny. Siła odśrodkowa nie występuje na biegunach.
Siła Coriolisa
Czy chodziłeś kiedyś po obracającej się tarczy? Nie jest to zadanie łatwe,
bowiem w tym przypadku nie tylko znajdujemy się, ale także i poruszamy się w
układzie nieinercjalnym. Nawet gdybyśmy się nie poruszali, działałaby na
nas znana nam już siła odśrodkowa. Na ciało poruszające się względem
wirującego układu odniesienia działa jednak jeszcze jedna siła zwana siłą
Coriolisa.
Przyjmijmy, że układ nasz (na przykład tarcza) porusza się ruchem
jednostajnym po okręgu z prędkością kątową .
W tym obracającym się układzie, w stałej odległości od osi obrotu porusza się ciało po obwodzie okręgu o promieniu
z prędkością
. Zapiszmy równanie (7.12) dla naszego przypadku. Pamiętamy
przy tym, że tym razem prędkość translacyjna wynosi zero, a prędkość kątowa
ma wartość stałą. Wzór na przyspieszenie w układzie nieruchomym ma zatem
postać
| (7.31)
|
Składniki - pierwszy i trzeci po prawej stronie tego wzoru są nam dobrze
znane. Pierwszy pojawi się, jeśli ciało porusza się ruchem przyspieszonym w
układzie ruchomym, trzeci jest przyspieszeniem dośrodkowym. Drugi człon jest
dla nas nowy. Odpowiadająca mu siła bezwładności zwana siłą
Coriolisa ma postać.
| (7.32)
|
Widać, że siła ta pojawia się jedynie, gdy ciało porusza się w układzie,
który sam jest w ruchu obrotowym. Znak minus oznacza, jak i w poprzednich
przypadkach, że siła ta jest skierowana przeciwnie do kierunku przyspieszania;
jest bowiem siłą reakcji. Przyspieszenie to zależy jednak od relacji
pomiędzy kierunkiem ruchu ciała w układzie ruchomym i kierunkiem prędkości
kątowej układu ruchomego względem nieruchomego. Kiedy kierunki te są równoległe,
siła Coriolisa wynosi zero, co wynika z własności iloczynu wektorowego.
|
Rys.7.5.
Siła Coriolisa dla dwóch różnych kierunków prędkości w układzie
ruchomym. |
Rysunek 7.5 ilustruje omawiany przypadek dla dwóch przeciwnych kierunków
wektora prędkości
(kolor niebieski) oznaczonych indeksami 1a i 1b. W
pierwszym przypadku siła Coriolisa
skierowana jest do środka okręgu, w drugim,
na zewnątrz. Warto zwrócić uwagę, że siła odśrodkowa skierowana jest
zawsze na zewnątrz, w związku z czym siła Coriolisa w pierwszym przypadku
odejmuje się od niej, w drugim - do niej dodaje. Warto przypomnieć jeszcze
raz, że siła odśrodkowa występuje niezależnie od ruchu ciała w obracającym
się układzie, także wtedy, kiedy ciało w tym układzie nie porusza się, a
siła Coriolisa nie występuje dla ciał będących w spoczynku w układzie
ruchomym.
|
Rys.7.6.
Siła Coriolisa na kuli ziemskiej. |
Klasycznym przykładem występowania siły Coriolisa jest ruch na
powierzchni Ziemi. Ciało spadające swobodnie, którego prędkość skierowana
jest pionowo (patrz Rys.7.6, strzałka fioletowa) doznaje działania siły
Coriolisa w kierunku wschodnim (strzałka czerwona). Kiedy poruszmy się wzdłuż
równika w kierunku wschodnim lub zachodnim doznajemy siły działającej
odpowiednio w górę lub w dół. (Porównaj Rys. 7.5.) Przy ruchu w
kierunkach na północ lub południe, kierunek odchylenia zależeć będzie od
tego na której półkuli, północnej czy południowej się znajdujemy. Jeden z
takich przypadków pokazany jest na Rys. 7.6. Inne przypadki rozpatrz
samodzielnie posługując się rysunkiem 7.6.
Działanie siły Coriolisa ilustruje też tzw. wahadło Foucaulta, którego płaszczyzna
drgań zmienia się względem Ziemi, a drgający przedmiot kreśli krzywe mające
postać rozety.
Na zakończenie podsumowująca nasze rozważania uwaga. Pamiętajmy, że
pozorne siły bezwładności występują tylko w układach nieinercjalnych. Należy
je odróżniać od rzeczywistych sił reakcji, jakie występują, kiedy rozważamy
ruch w układzie inercjalnym. Kiedy więc krzesełko na karuzeli doznaje
przyspieszenia dośrodkowego dzięki istniejącym więzom, to krzesełko działa
na więzy siłą odśrodkową reakcji. Jest to siła rzeczywista. Kiedy jednak
usiedliśmy na krzesełku (nieruchomym), a po jakimś czasie (kiedy już jesteśmy
w ruchu) stwierdzamy, że jakaś siła popycha nas w kierunku od osi obrotu, choć
w dalszym ciągu tak samo jak i na początku jesteśmy na tym samym krzesełku,
to znaczy, że znaleźliśmy się w układzie nieinercjalnym i jesteśmy pod
działaniem (pozornej w tym układzie) siły bezwładności. Poszukaj więcej
podobnych przykładów i przeanalizuj je samodzielnie.