Wektor położenia
w różnych układach odniesienia
Rozpatrzmy najbardziej ogólny przypadek zilustrowany na Rys.7.1. Punkt P porusza się z dowolną
prędkością i przyspieszeniem zarówno co do wartości jak i kierunku w określonym
okładzie odniesienia. Układ ten porusza się sam względem innego układu
odniesienia, który uważamy za nieruchomy. (Zakładamy jednak, że rozważane prędkości
są dużo mniejsze od prędkości światła. Przypadek prędkości bliskich prędkości
światła rozpatrzymy później.) Przykładem ruchu rozpatrywanego przez nas jest ruch pasażera w wagonie jadącego pociągu. Wagon jest
ruchomym układem odniesienia, a stacja kolejowa - układem nieruchomym.
|
Rys.7.1. Punkt P w dwóch układach odniesienia
|
Na Rys. 7.1 położenie punktu P
(pasażera) określone jest w układzie brązowym
(wagon), który
porusza się, oraz granatowym (stacja), który uważamy za nieruchomy
. Kierunki w układzie ruchomym pokazane są strzałkami
pełnymi, w układzie nieruchomym, pustymi. Wielkości
w układzie ruchomym mają górny indeks "prim" ( ' ) - nie mają
go zaś wielkości w układzie nieruchomym. Kolorem czerwonym
oznaczony jest promień wodzący punktu P w układzie ruchomym, a kolorem zielonym - w układzie
spoczywającym. Promień wodzący jednego układu względem drugiego pokazany jest
kolorem fioletowym. Na osiach układu ruchomego zaznaczone są składowe wektora
położenia punktu P w tym układzie (np. określające aktualne położenia
pasażera względem danego punktu w wagonie).
Relacje pomiędzy promieniami wodzącymi punktu P w obu układach
możemy zapisać w postaci
. |
(7.1) |
Zwróćmy uwagę, że ta oczywista na pierwszy rzut oka relacja zawiera w
sobie jedno z dwóch fundamentalnych założeń, na których opiera się
newtonowski sposób opisu ruchu; tj., że wektory (lub odległości) mierzone w
dwóch różnych układach odniesienia dodają się tak, jak wektory mierzone w
jednym i tym samym układzie.
Układ ruchomy może się zarówno obracać jak i przesuwać względem
układu nieruchomego. Może
też wykonywać oba te ruchy równocześnie. Jeśli zaś punkt P
przemieszczał się także względem układu ruchomego, to jego przemieszczenie w układzie
nieruchomym zapiszemy w postaci
|
(7.2) |
gdzie pierwszy człon po prawej stronie opisuje przemieszczenie punktu w układzie ruchomym,
a dwa pozostałe - przemieszczenie układu ruchomego względem nieruchomego. Przesunięcie
równoległe (translację) oznaczyliśmy indeksem trans, zaś obrót
(rotację) indeksem rot. Zwróćmy
przy tym uwagę, że przesunięcie równoległe jest zawsze takie samo dla
wszystkich punktów układu ruchomego, ale kąt obrotu przy danym przemieszczeniu wzajemnym układów
będzie zależał od położenia punktu w układzie ruchomym. Zawsze jednak możemy
zdefiniować chwilową oś obrotu i
względem niej wyrazić kąt obrotu niezbędny do opisania danego przemieszczenia.