Rch ciał o zmiennej masie

Fot.3.3. Start rakiety na poligonie doświadczalnym (WiŻ, 5, 2001r)	Można podać wiele przykładów ruchu ciał o zmiennej masie. Najczęściej wymienianym jest ruch wznoszącej się rakiety. Ruch o zmiennej masie występuje też w pracy taśmociągów transportujących sypki materiał. Takim ruchem jest ruch kropelek wody rzuconych na gorącą powierzchnię lub bryły lodu pływającej w wodzie. Wreszcie - kończąc żartobliwie - ruch kuli śniegowej, kiedy lepimy bałwana. W jednych przypadkach masa ciała zwiększa się, w innych ulega zmniejszeniu, w jeszcze innych, oba procesy mają miejsce równocześnie.
	Dla ustalenia uwagi rozpatrzmy ruch startującej pionowo rakiety. Przyjmijmy, że rakieta startuje w chwili t=0 i wtedy jej prędkość wynosi zero a masa równa jest m0. Masę rakiety po czasie  t od  chwili startu oznaczmy przez  mr, a jej prędkość w nieruchomym układzie odniesienia przez u r. Masę gazów wyrzucanych w czasie dt oznaczmy przez dmg, a ich prędkość względem rakiety przez ugr. Zapiszmy pęd naszego układu  w chwilach czasu  t oraz  t+dt. Stosujemy zapis skalarny bowiem pionowy ruch jest ruchem jednowymiarowym.

Pęd zapisujemy w nieruchomym układzie współrzędnych.

		(3.27)

	(3.28)

Zwróćmy tu uwagę, że przyrost pędu będzie równy zeru jeśli w naszym układzie nie występują siły zewnętrzne, co jest prostą konsekwencją zasad dynamiki.  Zauważmy też, że w wyrażeniu  (m_r - dm_g)  masa gazów wyrzucanych w czasie dt jest znacznie mniejsza niż masa całej rakiety i  może  być spokojnie pominięta. (Oczywiście, nie możemy jej pominąć w wyrażeniu dm_g× u_gr , bowiem od niczego nie jest tam odejmowana.)  

Zmianę pędu możemy więc zapisać w prostszej formie

	(3.29)

Skoro znamy wyrażenie na przyrost pędu możemy, dzieląc obie strony wyrażenia (3) przez przyrost czasu dt, zapisać drugą zasadę dynamiki dla naszego przypadku:

,	(3.30)

Równanie ruchu ma więc postać

	(3.31)

W ten sposób sformułowaliśmy równanie ruchu dla ogólnego przypadku, kiedy masa ciała w czasie ruchu ulega zmianie, ubywająca masa odrzucana jest z prędkością u_gr, a na ciało działa zewnętrzna siła F.  Zauważmy, że ilość wyrzucanych gazów dm_g/dt, pomnożona przez ich prędkość względem rakiety stanowi dodatkową siłę w naszym równaniu ruchu. To właśnie ta siła sprawia, że rakieta zwiększa swą prędkość, dlatego często nazywa się ja siła ciągu. Siła F  reprezentuje siły zewnętrzne działające na ciało. W naszym przypadku są to siły grawitacji i oporów ruchu działające w kierunku przeciwnym niż siła ciągu.

Zwróćmy także uwagę, że wyrażenie  dm_g/dt  to po prostu masa gazów wyrzucanych w jednostce czasu, którą możemy wyrazić na przykład w  kg/s.  Przyjmijmy, że przez cały czas lotu rakieta spala stałą ilość paliwa w jednostce czasu. Niech będzie to  dm_g/dt=n_g  kilogramów na sekundę. Masa rakiety w funkcji czasu t wyniesie wtedy 

	lub		(3.32)

gdzie wydzieliliśmy masę korpusu rakiety symbolem m_k  i początkową masę paliwa symbolem  m_0p.  Zauważmy również, że kiedy masa rakiety zmniejsza się w czasie ruchu, to jej ubytek dm_r równy jest masie wyrzucanych gazów, ale wzięty z przeciwnym znakiem czyli 

	(3.33)

Przyjmijmy teraz dla uproszczenia naszych rozważań, że siła ciągu jest o wiele większa od sił oporów ruchu i sił grawitacji . Wówczas w równaniu ruchu można pominąć siłę F otrzymując prostsze równanie 

	lub równoważne mu		(3.34)

Jest to równanie różniczkowe o rozdzielonych zmiennych, co umożliwia całkowanie niezależne lewej i prawej strony w granicach odpowiadających temu samemu przedziałowi czasu

	(3.35

W rezultacie otrzymujemy

	(3.36)

W ten sposób uzyskujemy wzór na prędkość rakiety po czasie t.

	(3.37)

Uzyskaliśmy słynny wzór Ciołkowskiego wyprowadzony na długo przed rozwojem techniki rakietowej.

Pamiętając, że przyspieszenie jest pochodną prędkości względem czasu otrzymujemy wyrażenie na przyspieszenie rakiety w funkcji czasu

.	(3.38)

Zwróćmy uwagę, że w początkowej fazie lotu rakiety przyspieszenie wzrasta nieznacznie, bowiem wyrażenie w liczniku wzoru (3.38) ma wartość stałą, a masa rakiety na starcie jest  znacznie większa od masy wyrzucanych  gazów. W rezultacie, wzrost prędkości jest prawie liniowy. W końcowej fazie, kiedy wyrażenie w mianowniku wzoru (3.38) zbliża się do masy korpusu rakiety, przyspieszenie wzrasta, wskutek czego wzrost prędkości jest szybszy od liniowego. Dla zmniejszenia masy korpusu buduje się rakiety wieloczłonowe. Wykorzystane pojemniki na paliwo zostają odrzucane w czasie lotu.

Rys. 3.1.Przykładowe zmiany prędkości i przyspieszenia rakiety w czasie lotu.