Wiemy już, że cząstkom możemy przypisać fale, których częstotliwość i długość określają wzory (3.1.1) i (3.1.2). Pamiętamy też, że ruch wszelkich obiektów makroskopowych w nierelatywistycznej mechanice klasycznej opisują równania Newtona. Nasuwa się wiec naturalne pytanie - czy można sformułować równania, które opisywałyby ruch obiektów mikroskopowych i w których uwzględniona byłaby ich dwoista, falowo-korpuskularna natura. 

Równanie takie, zwane równaniem Schrodingera, przypisuje poruszającej się swobodnie cząstce falę o określonej częstotliwości i długości,  a rozwiązaniem tego rownania jest funkcja opisująca przemieszczanie się tej fali. Funkcja taka nazywa sie  funkcją falową. Funkcja ta jest często funkcją zespoloną i dopiero jej kwadrat ma sens fizyczny odpowiadający prawdopodobieństwu tego,że cząstka znajduje sie w określonym punkcie w przestrzeni i czasie. Sens fizyczny funkcji falowej, różni się zasadniczo od sensu fizycznego wektora położenia cząstki w fizyce klasycznej. W tym ostatnim przypadku opisujemy ewolucję położenia ciała w sposób jednoznaczny za pomocą funkcji stanowiących rozwiązania równań Newtona, np. w ruchu harmonicznym lub w polu grawitacyjnym. Jeśli wyniki pomiarów różnią się od przewidywań teoretycznych, to albo wskutek niedokładności pomiarów albo przybliżeń opisu teoretycznego. W mechanice kwantowej mamy sytuacje zasadniczo różną. 

W mechanice kwantowej  nie określamy położenia cząstki, a określamy prawdopodobieństwo tego położenia. Wykonując więc pomiary położenia wielokrotnie w tych samych warunkach otrzymamy różne wyniki mające pewien rozkład statystyczny charakteryzujący "rozmycie" położenia w przestrzeni. Nie zawsze pomiar dotyczy położenia. Może dotyczyć innych wielkości, jak np. omawiana już niedokładność wyznaczenia pędu przy równoczesnym pomiarze pędu i położenia. 

Związek funkcji falowej z określeniem mierzalnych wielkości fizycznych wiąże się z pojęciem tzw. paczki falowej. Paczka falowa stanowi sumę fal harmonicznych różniących się częstotliwościami, a więc i długościami fal.  Mówiąc o płaskiej fali harmonicznej o określonej długości widzimy obiekt nieskończony, tj. nieskończone powtarzanie się danej długości fali w określonym kierunku (nieskończony ciąg falowy). Jeżeli teraz nałożymy na siebie nieskończoną liczbę takich nieskończonych ciągów falowych różniących się długościami w pewnym nawet niewielkim przedziale wartości, to dzięki zachodzącej interferencji tylko w jednym obszarze wystąpią drgania w postaci paczki falowej dzięki interferencji  konstruktywnej . Natomiast fale we wszystkich pozostałych obszarach zostaną dzięki interferencji destruktywnej wygaszone.

W ten sposób z nieskończonych (niezlokalizowanych) obiektów (nieskończone ciągi falowe)  otrzymujemy skończony obiekt zlokalizowany (paczkę falową), która reprezentuje cząstkę zlokalizowaną uwzględniając jej falowe własności.  Uformowana w ten sposób paczka falowa może przemieszczać się w przestrzeni. Prędkość przemieszczania się paczki falowej, zwana prędkością grupową, odpowiada prędkości przemieszczania się cząstki. Paczka falowa stanowi również intuicyjny związek pomiędzy opisem obiektów klasycznych i kwantowych.  Warto dodać, że właśnie forma paczki falowej stanowi element graficzny logo Wydziału Fizyki Politechniki Warszawskiej.

Rys. 3.3.1. Paczka falowa - logo Wydziału Fizyki PW

Spróbujmy przypisać poruszającej się swobodnie cząstce falę o określonej częstotliwości i długości  oraz  postarajmy się sformułować równanie, którego rozwiązaniem będzie funkcja opisująca przemieszczanie się tej fali. Funkcję taką nazywać będziemy funkcją falową i oznaczać będziemy symbolem .