Wiemy już jak wyznaczyć położenie punktu materialnego w przestrzeni trójwymiarowej posługując się układem współrzędnych prostokątnych. Ruch - to jednak zmiana tego położenia w czasie, co oznacza, że zarówno długość jak i kierunek wektora położenia są funkcją czasu t.

Zapiszemy to następująco:

	(2.12)

	(2.13)

	(2.14)

	(2.15)

.	(2.15a)

Z matematyki wiemy, że pochodna wyznaczona jest przez styczną do funkcji w danym punkcie. Naszą funkcją jest położenie ciała, a zmiana tego położenia w czasie wyznacza tor ciała w przestrzeni. Oznacza to, że wektor prędkości chwilowej pokrywa się ze styczną do toru w danym punkcie a jego zwrot wyznaczony jest przez znak przyrostu wektora położenia.

Na rysunku obok kolorem czerwonym pokazany jest przykładowy tor ciała w przestrzeni. Rzut toru na płaszczyznę poziomą pokazany jest kolorem różowym. Kolorem niebieskim zaznaczone są promienie wodzące dla dwóch punktów na torze, a kolorem zielonym ich różnica, czyli przyrost wektora położenia.

Na osiach układu współrzędnych zaznaczone są jego składowe. Zmiana położenia odbywa się w czasie, a więc każdemu punktowi na torze odpowiada określony czas. Kiedy różnica czasu zmierza do zera wektory położenia zbliżają się do siebie, a iloraz przyrostu wektora położenia do przyrostu czasu zmierza do skończonej wartości, która  jest właśnie prędkością chwilowa naszego ciała. Wektor prędkości zaznaczony jest kolorem fioletowym. Wektor ten jest styczny do toru ciała w każdym jego punkcie.

Rys. 2.5. Przykładowy tor ciała w przestrzeni.

Jednostką prędkości w układzie SI jest prędkość ciała poruszającego się ruchem jednostajnym, które w ciągu jednostki czasu (sekundy) przebywa jednostkę długości (metr). Jednostkę prędkości zapisujemy w postaci 1 m/s .  

Wspominaliśmy już, że specyfika ruchu sugeruje wybór odpowiedniego układu współrzędnych. Kiedy analizujemy ruch pasażera pędzącego pociągu widać celowość zastosowania dwuwymiarowego układu prostokątnego i wybór osi wzdłuż i w poprzek kierunku ruchu pociągu. Kiedy jednak pociąg zakręca i jedzie po łuku będącym elementem okręgu, może okazać się przydatne wykonać analizę w układzie biegunowym. Kiedy jeszcze dodatkowo nasz pociąg pokonuje wzniesienie - wybór układu sferycznego lub cylindrycznego może być uzasadniony.

Zdefiniowany już wcześniej wektor prędkości w układzie współrzędnych prostokątnych możemy zapisać jako.

	(2.16)

	(2.17)

Wartość bezwzględną wektora prędkości wyrażoną przez jej składowe w układzie kartezjańskim zapiszemy analogicznie do wzoru (2)

	(2.18)

Zapiszmy teraz wektor prędkości w układzie współrzędnych biegunowych. Definicja tego układu podana jest wyżej.

	(2.19)

Najpierw zapisaliśmy wektor położenia w układzie biegunowym, potem zastosowaliśmy regułę liczenia pochodnej iloczynu funkcji . Otrzymaliśmy dwie składowe wektora prędkości. Pierwsza skierowana jest wzdłuż kierunku promienia wodzącego wyznaczonego przez jego wersor. Druga zawiera iloczyn wektora położenia i pochodnej wersora promienia wodzącego względem czasu.

	Pamiętamy, że wersor jest wektorem i pomimo stałej (jednostkowej) wartości bezwzględnej, jego kierunek może się zmieniać. Kierunek ten  pokrywa się z kierunkiem zmiany kąta j, co ilustruje rysunek obok. Wykorzystując fakt, że długość wersora wynosi 1 otrzymujemy zależność:
		(2.20)
	(Skorzystaliśmy tu z definicji kąta wyrażonego w mierze łukowej jako stosunku długości łuku do wartości promienia odpowiadającego mu okręgu.)
Rys.2.6. Zmiana kierunku wersora.

Pochodną wersora promienia wodzącego względem czasu możemy wiec zapisać jako

(2.21)

Wektor prędkości wyrażony we współrzędnych biegunowych ma więc postać

	(2.22)

W ten sposób rozłożyliśmy wektor prędkości w układzie biegunowym na dwie składowe

	(2.23)

Pierwsza nosi nazwę prędkości radialnej, jest bowiem skierowana wzdłuż promienia wodzącego. Druga, o kierunku do niej prostopadłym, nazywa się prędkością transwersalną lub azymutalną.

	Wartość bezwzględną wektora prędkości wyrażona przez jej składowe w układzie biegunowym ma postać:
		(2.24)
	Rysunek obok ilustruje relacje pomiędzy składowymi prędkości w układzie biegunowym. Kolorem niebieskim pokazany jest przykładowy tor samolotu, kolorem czerwonym - wersory, brązowym - promień wodzący, różowym- wektor prędkości i zielonym - jego składowe w układzie biegunowym.
Rys.2.6. Składowe: radialna i transwersalna wektora prędkości.