Rozpad Promieniotwórczy

Wydział Fizyki Politechniki Warszawskiej

Autorzy:

Maciej Bulaszewski

Piotr Janeczko

pod kierunkiem prof. Jana Pluty

Spis treści:

1.Rozpad promieniotwórczy

2.Rodzaje przemian jądrowych

2.1.Rozpad α

2.2.Rozpad β

2.2.a Rozpad β^-

2.2.b Rozpad β⁺

2.3.Wychwyt K

2.4.Promieniowanie γ

3. Statystyka rozpadu promieniotwórczego

3.1.Prawdopodobieństwo rozpadu jądra

3.2.Prawo rozpadu promieniotwórczego

3.3.Rozpad promieniotwórczy sukcesywny i szeregi promieniotwórcze

3.4.Statystyczne fluktuacje rozpadu promieniotwórczego

4. Symulacja

1.Rozpad promieniotwórczy

Przez rozpad promieniotwórczy rozumiemy samorzutnie zachodzącą przemianę, w wyniku, której jądro promieniotwórcze zamienia się w inne jądro, (które także może być promieniotwórcze) oraz towarzyszy temu wyemitowanie promieniowania. Promieniowanie jądrowe może pochodzić zarówno z rozpadu jąder pewnych niestabilnych pierwiastków radioaktywnych, jak i może być wytwarzane sztucznie drogą przyspieszania cząstek naładowanych. Wśród pierwiastków promieniotwórczych można wymienić te pochodzenia naturalnego jak: aktyn (Ac), astat (At), frans (Fr), neptun (Np), polon (Po), pluton (Pu), radon (Rn), rad (Ra), protaktyn (Pa), tor (Th) i uran (U), oraz te wytworzone sztucznie przez człowieka: ameryk (Am), kiur (Cm), lorens (Lr), berkel (Bk), ferm (Fm), kaliforn(Cf), mendelew (Md), nobel, promet (Pm) czy technet (Tc).

2.Rodzaje przemian jądrowych

Wyróżniamy trzy rodzaje przemian jądrowych (rozpadów), są to: przemiana α, przemiana β oraz wychwyt K, a towarzyszące im promieniowanie nosi nazwy promieniowania alfa, beta oraz gamma. We wszystkich przemianach jądrowych obowiązują prawa zachowania ładunku, liczby nukleonów, energii oraz pędu.

2.1.Rozpad α

Polega on na wysyłaniu przez jądro promieniotwórcze jąder helu. W wyniku tej przemiany jądro traci dwa protony oraz dwa neutrony, w związku, z czym jądro powstałe po przemianie ma liczbę masową mniejszą o cztery, a liczbę porządkową mniejszą o dwa w stosunku do jądra macierzystego. W wyniku tej przemiany powstaje pierwiastek przesunięty w układzie okresowym o dwa miejsca w lewo. Rozpad α jest charakterystyczny (z wyjątkiem nielicznych przypadków) dla jąder ciężkich o A > 200, w których następuje wraz ze wzrostem liczby masowej maleje energia wiązania pojedynczego nukleonu. Zmniejszenie liczby nukleonów w takim jądrze prowadzi do powstania nuklidu silniej związanego. Energia, która wyzwala się podczas zmniejszania liczby nukleonów o jeden jest znacznie mniejsza od energii wiązania pojedynczego nukleonu w jądrze, dlatego też wysłanie pojedynczego protonu lub neutronu – których energia wiązania poza jądrem wynosi zero - jest niemożliwe. Natomiast wysłanie jądra helu jest energetycznie możliwe, ponieważ energia wiązania przypadająca na jeden nukleon w tym jądrze wynosi około 7,1 MeV. Ogólnie można powiedzieć, że:

Rozpad alfa jest możliwy, jeżeli suma energii wiązania jądra otrzymanego po rozpadzie i cząstki alfa jest większa od energii wiązania jądra wyjściowego.

Rozpatrzmy przypadek, że pewne jądro ^A_ZX w wyniku rozpadu przekształciło się w jądro

^A-4_Z-2Y. Jeżeli energia wiązania E₂ jądra ^A-4_Z-2Y przekracza energię wiązania E₁ jądra wyjściowego ^A_ZX o więcej niż wartość energii wiązania cząsteczki alfa, tzn. ΔE > 28,4 MeV, to rozpad alfa w takim przypadku jest możliwy. Zwiększenie energii wiązania nukleonów oznacza równocześnie zmniejszenie energii spoczynkowej jądra o wartość energii E_alfa, wydzielającej się przy rozpadzie alfa. Energia ta wyzwala się w postaci energii kinetycznej produktów rozpadu. Wyzwolona energia E_alfa jest sumą energii kinetycznej cząstki alfa i energii kinetycznej, zwanej energią odrzutu jądra. Znając energię E_alfa, wyzwoloną w procesie rozpadu można obliczyć energię E_m cząstki alfa i energię odrzutu jądra E_M. Aby to obliczyć skorzystamy z zasady zachowania energii i pędu:

gdzie:

- m : masa cząstki alfa

- M : masa jądra powstającego po rozpadzie

- v_α : prędkość cząstki alfa

- v_j : prędkość odrzutu jądra

Z tych dwóch równań wynika, że stosunek energii E_m cząstki alfa do energii E_M odrzutu jądra jest odwrotnie proporcjonalny do stosunku ich mas:

energia cząstki alfa jest równa:

energia odrzutu wynosi:

Warunek rozpadu można również określić wychodząc z bilansu mas przed i po rozpadzie:

M(A, Z) > M(A-4, Z-2) + m

gdzie:

- M(A, Z) : masa jądra przed rozpadem

- M(A-4, Z-2) : masa jądra po rozpadzie

- M : masa jądra helu (cząsteczki alfa)

Ponieważ nie jesteśmy w stanie dokładnie zmierzyć mas jąder poszczególnych pierwiastków (metodą spektroskopii masowej zwykle mierzy się masy jednokrotnie zjonizowanych atomów), dlatego w obliczeniach korzystamy z mas neutralnych atomów i zamiast masy jądra helu m piszemy masę atomu helu M_α.

Energię rozpadu alfa obliczamy teraz korzystając ze wzoru:

Zatem:

Energia rozpadu alfa jest równa różnicy mas atomu macierzystego i całkowitej masie produktów rozpadu, pomnożonej przez kwadrat prędkości światła.

Oto przykład rozpadu alfa:

2.2.Rozpad β

Masa jądra, zawierającego określoną ilość nukleonów, zależy od kombinacji liczby protonów i neutronów zawartych w jądrze. Istnieje tylko jedna taka kombinacja, której odpowiada najmniejsza masa jądra. Każde jądro, w którym liczby protonów oraz neutronów nie odpowiadają kombinacji dającej najmniejszą masę podlega przemianom, w wyniku których jądro osiąga najmniejszą masę.

Wyróżnia się dwa rodzaje rozpadu β:

2.2.a Rozpad β^-

Jeżeli dane jądro zawierające A nukleonów, w którym liczba neutronów N = A – Z jest większa od optymalnej, to w jądrze takim zajdzie proces, w wyniku którego jeden z neutronów zamieni się w proton. Przemiana taka nazywa się rozpadem β^- i zachodzi według następującego schematu:

gdzie:

n – neutron

p – proton

e^- - elektron, zwany także cząstką β^-

- antyneutrino elektronowe

Proces rozpadu β^- można zapisać schematycznie w postaci:

Podczas rozpadu β^-jeden z neutronów przekształca się w proton, a z jądra wysyłana jest cząstka β^-(elektron) oraz antyneutrino elektronowe. W wyniku tej przemiany liczba masowa jądra macierzystego nie ulega zmianie, a liczba atomowa wzrasta o jeden, czyli pierwiastek pochodny jest przesunięty w układzie okresowym w prawo o jedno miejsce.

2.2.b Rozpad β⁺

Jeżeli dane jądro zawiera nadmiar protonów w stosunku do liczby neutronów, to w takim przypadku zachodzi proces zwany rozpadem β⁺ według poniższego schematu:

gdzie:

p – proton

n – neutron

e⁺ - pozyton (antyelektron), zwany także cząstką β⁺

- neutrino elektronowe

Proces rozpadu β⁺ można zapisać schematycznie w postaci:

Podczas rozpadu β⁺ jeden z protonów zawartych w jądrze przekształca się w neutron, a z jądra zostaje wyemitowany pozyton oraz neutrino elektronowe. W wyniku tej przemiany liczba atomowa pierwiastka macierzystego maleje o jedność, więc powstający pierwiastek jest przesunięty w układzie okresowym o jedno miejsce w lewo.

2.3.Wychwyt K

Bardzo często zdarza się, że przemiana jądrowa typu beta odbywa się w ten sposób, że zamiast wysyłania pozytonu jądro wychwytuje jeden z elektronów znajdujących się na powłoce atomowej. Proces taki można zapisać następująco:

W opisanej tutaj przemianie występuje największe prawdopodobieństwo wychwytu elektronu znajdującego się na powłoce K, dlatego też proces ten jest zwany wychwytem K.

Następstwa przemiany β⁺ i wychwytu K są takie same, dlatego oba te procesy mogą zachodzić jednocześnie w przemianach jąder tego samego pierwiastka. Intensywność tych przemian zależy od rodzaju pierwiastka.

2.4.Promieniowanie γ

Rozpadom alfa i beta towarzyszy zazwyczaj promieniowanie elektromagnetyczne, zwane promieniowaniem gamma. Emisja promieniowania γ jednym ze sposobów na pozbycie się przez jądro nadmiaru energii, zwanej energią wzbudzenia. Widmo energetyczne promieniowania gamma, wysyłanego przez ciała promieniotwórcze, jest zawsze liniowe, podobnie jak widmo charakterystyczne promieniowania rentgenowskiego.

Emisja promieniowania gamma nie powoduje zmiany liczby protonów i neutronów w jądrze, w związku z tym nie zmienia się jego liczba masowa. Położenie pierwiastka w układzie okresowym przy emisji promieniowania gamma, także nie ulega zmianie.

Emisję promieniowania gamma można opisać na podstawie ogólnej teorii promieniowania elektromagnetycznego Maxwella. Zgodnie z nią promieniowanie gamma powstaje wskutek niejednostajnego ruchu dipoli elektrycznych lub dipoli magnetycznych, lub też wskutek niejednostajnego ruchu kwadrupoli, (kwadrupol – układ dwóch dipoli równych, co do wielkości, lecz przeciwnie skierowanych) elektrycznych lub magnetycznych. Ogólnie można powiedzieć, że

Promieniowaniu gamma towarzyszy zmiana momentów elektrycznych jądra, polegająca na zmianie rozkładu ładunków elektrycznych jądra, lub zmiana układu jego spinowych i orbitalnych momentów magnetycznych.

3.Statystyka rozpadu promieniotwórczego

Podczas pomiarów promieniowania jądrowe na błędy przypadkowe, związane z niedokładnością przyrządów pomiarowych i te pochodzące od wpływu czynników zewnętrznych nakładają się dodatkowo fluktuacje związane z naturą procesów jądrowych. Nie mogą być one wyeliminowane przez staranne planowanie i wykonanie pomiarów, gdyż rozpad promieniotwórczy ma charakter statystyczny.

3.1.Prawdopodobieństwo rozpadu jądra

Podczas pomiarów promieniowania jądrowego mamy najczęściej do czynienia z wielkościami, których prawdopodobieństwo wystąpienia na jednostkę czasu jest niewielkie i stałe w czasie. Rozkład statystyczny, takich wielkości opisuje prawo Poissona.

W celu wyprowadzenia tego prawa rozpatrzmy detektor promieniowania umieszczony w stałym średnim strumieniu cząstek i obliczmy, jakie jest prawdopodobieństwo, tego, że w czasie t detektor zarejestruje x cząstek. Załóżmy ponadto, że:

a) wynik liczenia w momencie t nie zależy od historii obserwowanych zdarzeń w czasie poprzedzającym ten moment

b) prawdopodobieństwo policzenia jednej cząstki w krótkim przedziale czasu (t, t+dt) jest proporcjonalne do długości tego przedziału:

c) prawdopodobieństwo policzenia w tym czasie dwóch i większej liczby cząstek jest pomijalnie małe

Suma prawdopodobieństw zaobserwowania jednej cząstki w przedziale czasu (t, t+dt) jednej cząstki i nie zaobserwowania żadnej cząstki musi być oczywiście równa jedności

Zatem prawdopodobieństwo, że w czasie dt nie zaobserwujemy żadnej cząstki będzie wynosić:

Prawdopodobieństwo zaobserwowania x cząstek w czasie (t+dt) można przedstawić jako sumę dwóch prawdopodobieństw:

-) prawdopodobieństwa, że w czasie dt nie zaobserwowano żadnej cząstki, czyli wszystkie x cząstek obserwujemy w czasie t:

-) prawdopodobieństwa, że w czasie dt zaobserwujemy jedną cząstką, natomiast pozostałe x-1 cząstek zaobserwujemy w czasie t:

Po zsumowaniu obu prawdopodobieństw otrzymujemy:

skąd po przekształceniu dostajemy:

Po rozwiązaniu tego równania różniczkowego otrzymujemy następujący wzór:

Wzór ten opisuje właśnie prawo Poissona.

3.2.Prawo rozpadu promieniotwórczego

W celu sformułowania prawa rozpadu promieniotwórczego załóżmy, że prawdopodobieństwo rozpadu na jednostkę czasu dla pojedynczego jądra jest stałe i wynosi λ. Liczba dN jąder, które się rozpadły w czasie dt jest proporcjonalna do liczby N jąder promieniotwórczych, co zapisujemy równaniem:

dN = -λNdt

Całkując powyższe równanie otrzymujemy:

ln N = - λt + C

Przyjmując, że w warunkach początkowych t=0, N=N₀ i podstawiając do powyższego równania wyznaczamy stałą C = ln N_0. Po przekształceniach otrzymujemy ostateczny wzór na prawo rozpadu promieniotwórczego:

Aby pełniej opisać rozpad promieniotwórczy wprowadza się kilka innych wielkości:

a) Czas połowicznego zaniku T

Jest to czas, po którym, w wyniku rozpadu, liczba jąder promieniotwórczych spadnie do połowy. Według prawa rozpadu:

stąd

b) Średni czas życia jądra τ

Ilość jąder, które przeżyły czas t wynosi:

w czasie od t do t+dt rozpadowi ulegnie:

jąder, zatem λN(t)dt jąder ma czas życia równy t. Czas życia wszystkich N₀ jąder wynosi:

Średni czas życia jądra wynosi zatem:

c) Aktywność promieniotwórcza

Jest to liczba aktów rozpadu substancji promieniotwórczej rejestrowana w jednostce czasu. Wynosi ona:

Cząstkowa aktywność substancji radioaktywnej odpowiadająca określonemu typowi rozpadu wynosi:

Jednostki aktywności promieniotwórczej:

- bekerel (Bq) : 1Bq = 1 rozpad/s

- kiur (Ci) : 1Ci = 3,7 * 10¹⁰ rozpadów/s

Jak widać 1 Ci jest dużą aktywnością i dlatego najczęściej stosuje się podwielokrotności tej jednostki, takie jak 1 μCi = 10^-6 Ci i 1mCi = 10^-3 Ci.

3.3.Rozpad promieniotwórczy sukcesywny i szeregi promieniotwórcze

Zdarza się często, że jądra powstające w wyniku rozpadu promieniotwórczego nie są stabilne, lecz także rozpadają się, ale z inną stałą rozpadu niż substancja pierwotna. Wówczas mówimy o sukcesywnym rozpadzie promieniotwórczym.

Przyjmijmy, że λ₁ jest stałą rozpadu dla jądra numer 1, które rozpada się na inne jądro promieniotwórcze 2, λ₂ jest stałą rozpadu jądra 2, które z kolei rozpada się na stabilne jądro 3. Załóżmy, że w chwili t=0 liczby tych jąder wynoszą kolejno N₀₁, N₀, i N₀₃. Liczba jąder typu 1 zmienia się zgodnie ze wzorem:

Zaś liczba jąder typu 2 narasta w skutek rozpadu jąder typu 1, ale jednocześnie też maleje poprzez rozpad, tzn:

Natomiast liczba jąder typu 3 narasta w wyniku rozpadu jąder typu 2:

Te trzy równania różniczkowe opisują sukcesywny rozpad promieniotwórczy dla rozpatrywanych przez nas jąder. Rozwiązując pierwsze z tych równań otrzymujemy:

Wstawiamy to rozwiązanie do drugiego równania i po jego rozwiązaniu otrzymujemy wzór:

z kolei ten wzór wstawiamy do ostatniego z równań różniczkowych i po rozwiązaniu otrzymujemy:

W praktyce najczęściej spotykamy się z sytuacją, w której dla chwili t = 0 mamy tylko jądra N₁ w liczbie N₀₁, a N₀₂= N₀₃ = 0. Wówczas rozpad sukcesywny opiszemy następującymi równaniami:

Wzory te można łatwo uogólnić na dowolną liczbę rozpadów sukcesywnych.

Szeregi promieniotwórcze to rodziny nuklidów promieniotwórczych kolejno przekształcających się jedne w drugie na drodze sekwencyjnych rozpadów alfa lub beta. wyróżnia się ich cztery, a każdy zapoczątkowywany jest rozpadem innego bardzo długożyciowego izotopu promieniotwórczego.

Jądro początkowe	A	T_1/2	Jądro końcowe
²³²₉₀Th	4n	1.39*10¹⁰	²⁰⁸₈₂Pb
²³⁷₉₃Np	4n+1	2.20*10⁶	²⁰⁹₈₃Bi
²³⁸₉₂U	4n+2	4.51*10⁹	²⁰⁶₈₂Pb
²³⁹₉₂U	4n+3	7.15*10⁸	²⁰⁷₈₂Pb

szereg uranowo-radowy

szereg uranowo- aktynowy

szereg torowy

szereg neptunowy

3.4.Statystyczne fluktuacje rozpadu promieniotwórczego

Prawo rozpadu promieniotwórczego jest słuszne jedynie w tych przypadkach, gdy liczba jąder

rozpadających się w jednostce czas jest dostatecznie duża, by można było pominąć stosunkowo nieznaczne odchylenia od średnich wartości liczb rozpadających się jąder w jednostce czas. Przy małej ilości rozpadów w jednostce czasu, gdy wartość średnia wynosi na przykład 3 rozpady/s należy oczekiwać, że pomiary liczby rozpadów w kolejnych odcinkach czasu będą się wyraźnie różniły od wartości średniej. Przyjmując za jednostkę czasu 1s i licząc ilość rozpadów w każdej kolejnej sekundzie, prawdopodobnie otrzymalibyśmy następujący szereg wartości: 4, 0, 2, 2, 1, 3, 0, 2, 4, 3, 2, 1, 5, 7, 4, 0, 2, 4, 6, 6, 2 itd. Średnia z podanych liczb zliczeń w jednostce czasu wynosi 2,85. Dokładną liczbę 3 rozpady/s otrzymalibyśmy po przeprowadzeniu nieskończonej ilości pomiarów (zakładamy, że badana substancja promieniotwórcza ma długi czas życia), którą określilibyśmy jako rzeczywistą szybkość rozpadu. Oznacza to, że wielokrotna obserwacja rozpadu tej samej ilości jąder promieniotwórczych w tej samej jednostce czasu da różną liczbę rozpadów, przy czym liczba rozpadów zbliżona do średniej będzie występowała częściej niż liczba rozpadów znacznie różniąca się od średniej. Odchylenia te noszą nazwę fluktuacji.

4.Symulacja

Celem dla którego powstała ta praca jest stworzenie symulacji zjawiska rozpadu promieniotwórczego. Stworzyliśmy Applet (program działający w przeglądarce internetowej), który umożliwia obejrzenie procesów zachodzących podczas rozpadu. Jest mozliwość ustawienia wielu parametrów symulacji. Oczywiscie wartości tych parametrów muszą być nie fizyczne, to znaczy nie majace wiele wspólnego z rzeczywistością. Bo kto by czekał pare lat, żeby obejrzeć pojedyńczy rozpad.

Aby uruchomic ten applet potrzebna jest Wirtualna Maszyna Javy (Java Virtual Machine), wersja 5.0 lub nowsza, dostępna bez opłat na stronie „java.sun.com”.

Uruchom applet

Obsługa programu jest dosyć intuicyjna, i nie wymaga chyba dodatkowych wyjasnień. Ponizej umieszczony przykładowy stan ekranu działającego appletu.