Przygotowali:
Przemysław Rudziński;
Marcin Michewicz
Wydział Fizyki Politechniki Warszawskiej

CYKLOTRON

Modelowanie komputerowe ruchu cząstki naładowanej w polach: elektrycznym i magnetycznym

cyklotronu.

 

Opracowanie projektu wykonane w ramach III-go laboratorium fizyki na Wydziale Fizyki Politechniki Warszawskiej pod opieką

prof. nzw. dr hab. Jana Pluty w roku akademickim 2003/2004.

 

I. Na początek zacznijmy od tego czym w ogóle jest cyklotron.

Najprościej można powiedzieć, że jest to akcelerator cykliczny, w którym stostunkowo ciężkie cząstki takie jak protony lub zjonizowane jądra są przyspieszane polem elektrostatycznym o napięciu rzędu 100 kV i wysokiej częstości które to pole występuje między dwoma duantami, czyli płaskimi wydrążonymi półwalcami. Dzięki istnieniu stałego, prostopadłego do płaszczyzny przyspieszenia pola magnetycznego oraz wspomnianego wcześniej pola elektrostatycznego, cząstki poruszają się po torach spiralnych(tło naszej strony jest przykłądem takiego ruchu cząstek naładowanych w polu magnetycznym). Taka kombinacja pól magnetycznego i elektrycznego rozwiązuje problem uzyskiwania bardzo wysokich napięć w przypadku akceleratorów liniowych, gdzie uzyskiwana energia jest wprost proporcjonalna do napięcia pracy akceleratora i wyraża się wzorem:

(wzór 1)

gdzie:

q - ładunek cząstki;

U - różnica potencjałów;

- potencjał w punkcie A;

- potencjał w punkcie B;

Ek - wartość energii w punkcie B;

 

II.Zasada działania oraz budowa cyklotronu:

W cyklotronie cząstka przechodząc przez przerwę między duantami jest przyspieszana za każdym razem i dzięki temu ma coraz większą energię. Siłę, która działa na cząstkę o ładunku "q" ze strony pola magnetycznego określa wzór:

(wzór 2)

gdzie:

q - łądunek;

- prędkość ładunku;

- natężenie pola elektrycznego;

- indukcja pola magnetycznego;

czyli po porstu wzór na siłę Lorentza. Na schemacie poniżej (Rys.1) można zobaczyć miejsca, w których następuje przyspieszenie:

Rys.1 Ruch cząstki w cyklotronie z wyodrębnionymi miejscami, w których następuje przyspieszenie.

Na Rys.1 widzimy jak jony, które są wprowadzane w środkowej części (punkt 1 Rys.1) są zakrzywiane w polu magnetycznym. Następnie dostają przyspieszenia w przerwie (punkt 2 Rys.1) między duantami (punkt B Rys.2). Przyspieszenie to następuje dzięki temu, że znajduje się tam pole elektrostatyczne wytwarzane przez generator (punkt 3 Rys.1). Na wykresie obok schematu wyodrębnione są momenty (punkt 4 Rys.1), w których następuje przyspieszenie.

 

W myśl drugiego prawa Newtona, siła ta będzie równa iloczynowi masy cząstki "m" przez przyspieszenie dośrodkowe:

(wzór 3)

Porównując wyrażenia na siłe (wzór 2 oraz wzór 3) otrzymuje się wzór na promień toru cząstki w polu magnetycznym:

(wzór 4)

gdzie:

r - promień toru cząstki;

m - masa cząstki;

Jeżeli masa cząstki jest stała, to czas obiegu nie zależy od prędkości cząstki, a więc nie zależy od jej energii. Fakt ten stanowi podstawę działania cyklotronu a wielkość, taką nazywamy częstością cyklotronową obiegu cząstki i wynosi ona:

(wzór 5)

Rys.2 Budowa cyklotronu.

A - bieguny magnesu;

B - elektrody, do których przylozone jest wysokie, zmienne napiecie, zwane duantami;

C - zródlo jonów;

D - generator zmiennego napiecia;

Cyklotron zbudowany jest z dwu miedzianych puszek-elektrod w kształcie litery D (czyli duantów, pokazane na Rys.2 w punkcie B), które umieszczone są w komorze próżniowej. Jak już było wcześniej wspomniane znajdują się one oczywiście w stałym polu magnetycznym między biegunami magnesu (punkt A Rys.2). Do duantów doprowadzane jest zmienne napięcie z generatora wielkiej częstości (punkt D Rys.2). Na osi całego układu znajduje się źródło jonów (punkt C Rys.2). Na naładowaną cząstkę po wyjściu ze źródła, działa pole elektryczne, wytworzone w szczelinie między duantami, oraz pole magnetyczne zmuszające cząstkę do poruszania się po torze kołowym, co było już wspomniane wcześniej. Jeżeli w chwili początkowej lewy duant jest ujemny, to jon dodatni dozna krótkotrwałego przyspiesznia i po zakreśleniu półkola pojawi się znów w szczelinie między duantami. Jeśli w tym czasie biegunowość duantów się zmieni, to lewy duant będzie miał potencjał dodatni, a prawy - ujemny. Na odcinku między duantami cząstka więc znów będzie przyspieszała. W duancie prawym cząstka znów zakręci półkole, po czym, jeśli znów polaryzacja duantów ulegnie zmianie, to cząstka znów zostanie przyspieszona w szczelinie. W ten sposób dzięki temu, że okres zmian napięć generatora jest równy okresowi obiegu cząstki, to będzie ona zwiększać swój promień (opisany wcześniej). Cały tor cząstki zatem będzie zbliżony do spirali. Gdy promień cząstki odpowiednio wzrośnie, to specjalna elektroda odchylająca wyprowadzi cząstkę poza duant w kierunku tarczy, gdzie cząstka może być użyta na wile różnych sposobów np.:

- wywołać reakcję jądrową;

- służć do terapii medycznych;

- do badań materiałowych;

- różnego rodzaju procesów technologicznych.

Budowy cyklotronów mogą być różne. Warto jest zobaczyć stronę Laboratorium GANIL z której to zaczerpnęliśmy wiedzy na temat budowy cyklotronu.

Innym ciekawym linkiem jest strona Laboratorium Ciężkich Jonów Uniwersytetu Warszawskiego .

Oto nasz program:

Zasada działania naszego programu:

W opisie programu chciałbym pominąć fakt tworzenia samego appletu a w głównej mierze skupić się nad częścią odpowiadającą za samą symulację.

Cząstka porusza się po torze dzięki zastosowaniu następującego algorytmu:

for ( i = 0; i <=180; i++)
{
g.setColor(Color.black);
k.x= (int)(x0 + Math.sin( i * Math.PI / 180 )*R1);
k.y = (int)(y0 + Math.cos( i * Math.PI / 180 )*R1);
k.r = 1;
k.paint(g);
try { Thread.sleep(1); }
catch(InterruptedException e) {}
}

wyrażenia k.x, k.y, k.r odnoszą się do klasy:

class punkt extends Panel
{
int x, y, r;

punkt()
{
x = 0;
y = 0;
r = 0;
}

public void paint(Graphics g)
{
g.fillOval(x, y, r, r);
}
}

i opisują po jakim torze ma poruszać się punkt z "class punkt".

Funkcja (int)(x0 + Math.sin( i * Math.PI / 180 )*R1); zapewnia nam, że tor po którym będzie poruszała się cząstka w duantach, będzie torem zakrzywionym, odpowiadającym półokręgom. Do obliczenia początkowego promienia po którym ma poruszać się cząstka zastosowaliśmy (wzór 4), który teraz wygląda tak:

R=(M1*V1)/(q1*B1);

(wzór 6)

W projektowaniu naszego cyklotronu posłużyliśmy się, dla uzyskania jak najdokładniejszych wyników symulacji, rozmiarami prawdziwego cyklotronu, który znajduje się w Warszawie i którego zdjęcia można obejrzeć na naszej stronie. Promień tego cyklotronu wynosi 1m, czyli my musieliśmy przeskalować go tak aby wymiar duantów w naszym programie był proporcjonalny do oryginału. Zrobiliśmy to tak:

R1=(int)(R*240);

czyli, krótko mówiąc, jedenemu metrowi odpowiada 240 pixeli na ekranie monitora. Przyjęliśmy również, że przerwa między duantami wynosi 20 pixeli co odpowiada w rzeczywistości 8 cm. Prędkość początkową V1 można podawać i należy to robić jako część (w zakresie od 0 do 1) prędkości światła:

V1=V1*300000000;

Można podawać B, czyli po prostu wartość pola magnetycznego,wartość napięcia E jakie jest potrzebne do przyspieszenia "a" cząstki w przerwie między duantami:

a=(q1*E1)/M1; (wzór 7)

oraz wartość łądunku i masy cząstki. Wszystkie te zmienne są cały czas wykorzystywane aby przeliczać i wyśiwetlać na bierząco zarówno aktualny promień opisany przez (wzór 6), jak i prędkość wyświetlaną w [m/s]:

V1=V1+dV; (wzór 8)

oraz energię kinetyczną wyrażaną w elektronowoltach:

Ek1=(0.625*Math.pow(10,19))*((q1*q1*B1*B1*R*R)/(2*M1)); (wzór 9)

Wzór 5 oparty jest na wzorze na energię kinetyczną:

Aby zapewnić wyświetlanie wyniku w elektronowoltach a nie w dżulach zastosowaliśmy mnożnik 0.625*Math.pow(10,19)) czyli po prostu wykorzystaliśmy fakt, że:

Wracając do (wzór 8), aby obliczyć nową prędkość potrzebowaliśmy oprócz przyspieszenia (wzór 7), także czasu, ponieważ:

dV=a*t; (wzór 10)

to czas przejścia cząstki przez szczelinę (czyli droga przejścia = 8cm.=0.08m) wynosił:

t=(Math.sqrt(4*V1*V1+8*(a)*0.08)-2*V1)/(2*(a)); (wzór 11)

który obliczyszliśmy korzystając ze wzoru na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym:

(wzór 12)

Ostatnim problemem jaki musieliśmy rozwiązać był problem znaku cząstki. Został on rozwiązany poprzez wykorzystanie funkcji "if(q>0)" oraz "if(q<0)".

W ten sposób można przedstawić zasadę działania naszego programu, która jak widać w pełni wykorzystuje prawa fizyki, które sterują cząstką w prawdziwym cyklotronie.

 

III. Zdjęcia cyklotronów:

Poniżej znajdują się zdjęcia cyklotronu, który znajduje się w Laboratorium Ciezkich Jonów Uniwersytetu Warszawskiego. Za udostępnienie zdjęć serdecznie dziękujemy naszemu prowadzącemu prf. nzw. dr Janowi Plucie

Jedyne tego typu urzadzenie w Polsce i w krajach Europy wschodniej; przyspiesza jony od Boru (38MeV) do Argonu wlacznie (172MeV) . Sluzy zarówno do badan z dziedziny fizyki jadrowej jak i z zakresu fizyki ciala stalego oraz do celów aplikacyjnych.

Poniżej cyklotron od strony wyprowadzenia wiazki.

Poniżej także cyklotron od tej samej strony, ale widać już na nim więcej szczegółów, takich jak: magnesy kwadrupolowe, uklady do monitorowania i pozycjonowania wiazki, kontroli stanu prózni w jonowodzie itd.

Czerwony magnes, który skierowuje jony do wybranych kanalów w zaleznosci od potrzeb.

Poniżej soczewki kwadrupolowe, które w koncowej czesci jonowodów skupiaja wiazki na tarczach dwóch eksperymentów fizycznych.

Poniżej magnes dipolowy do zmiany kierunku wiazki i kwadrupolowy, do jej ogniskowania.