6.  Kiedy możemy stosować rozkład Poissona.
Wspominałem, że do wyprowadzenia rozkładu potrzebne jest spełnienie kilku koniecznych warunków. Jeżeli zjawisko, które chcemy opisać któregoś z nich nie spełnia to oczywiście nie możemy użyć rozkładu Poissona. Dla przypomnienia te warunki to:
a) zmienna losowa (przypadkowa wielkość) może osiągać jedynie nieujemne całkowite wielkości.
b) prawdopodobieństwo, że w bardzo krótkim czasie (zbiegającym do zera) ta przypadkowa wielkość będzie miała wartość większą niż jeden jest znikomo małe (zbiegające szybko do zera).
c) wszystkie rozpatrywane zdarzenia są statystycznie niezależne od siebie.

Rozpatrzmy kilka przykładów.
6.1. Rozpady promieniotwórcze
Badamy ilość rozpadów promieniotwórczych następujących w próbce. Wykonujemy dwa pomiary. Jeżeli czas pierwszego pomiaru jest długi na tyle, że w próbce rozpadnie się bardzo wiele jąder i jednocześnie niewiele ich pozostanie, to podczas drugiego pomiaru zarejestrujemy znacznie mniej rozpadów. Nie można więc mówić o braku zależności między rozpadami. Dlatego też w tym przypadku nie można stosować rozkładu Poissona.
Istnieje jednak wyjątek, mianowicie gdy czas pomiaru jest znikomo krótki z czasem życia jąder badanej substancji promieniotwórczej. Możemy wtedy założyć że w czasie pierwszego jak i drugiego pomiaru rozpadnie się bardzo mało jąder. Oznacza to, że praktycznie ich liczba na początku pomiaru późniejszego nie będzie zależeć od długości pomiaru wcześniejszego. Wynika z tego statystyczna niezależność zjawisk w obu pomiarach. Możemy stosować rozkład Poissona.

6.2. Łańcuchy promieniotwórcze
Rozpatrzymy łańcuch promieniotwórczy złożony z dwu stopni, np. rozpad a po którym ma miejsce rozpad b. Jeżeli spełnione są warunki stosowalności rozkładu Poissona dla rozpadów promieniotwórczych to ilość rozpadów a oraz ilość aktów rozpadu b podlegają rozkładowi Poissona.
Problem pojawia się jeżeli rejestrujemy łączną sumę rozpadów stosując np. licznik czuły na obie te cząstki. W momencie gdy w czasie jakiegoś pomiaru nastąpiło wiele rozpadów a, to w następnych pomiarach możemy obserwować znacznie więcej rozpadów b. Narusza to warunek niezależności zdarzeń rejestrowanych w poszczególnych przedziałach czasu.

6.3. Pomiary promieniowania z niezależnych źródeł.
Zagadnienie wygląda następująco: korzystając z dwóch detektorów rejestrujemy promieniowanie z dwóch całkowicie niezależnych źródeł promieniowania. Ponadto wynik pomiaru każdego z licznika podlega rozpadowi Poissona.
Interesuje jest czy również i sumę tych pomiarów można opisać tym rozkładem.
Odpowiedź brzmi tak, jeżeli tylko geometria układu jest tak, że nie możliwe jest zarejestrowanie jednej cząstki przez oba detektory jednocześnie. W takim przypadku i dla sumy pomiarów spełnione są wszystkie wymagane przez rozkład Poissona warunki.
Identyczną odpowiedź uzyskujemy również, jeżeli dwa detektory rejestrują promieniowanie z tylko jednego źródła. Oczywiście tutaj także musi być wyeliminowane "podwójne zliczanie" jednej cząstki. To samo jest w sytuacji gdy jeden liczniki rejestruje promieniowanie z dwóch niezależnych źródeł.
Trzeba jednak zaznaczyć że we wszystkich tych przypadkach musi być spełniony warunek krótkiego czasu pomiaru w porównaniu z czasem życie jąder.
Powyższe przykłady ilustrują ogólniejsze twierdzenie, które brzmi: suma niezależnych zmiennych losowych podlegających rozkładowi Poissona również podlega rozkładowi Poissona.
Prawo takie nie obowiązuje przy odejmowaniu takich zmiennych. Możemy bowiem otrzymać wielkość ujemną.
Dlaczego geometria doświadczenia jest tak istotna. Mianowicie w przypadku gdy jedna cząstka może być policzona przez oba liczniki równocześnie, to mimo że pomiary osobno podlegają rozkładowi Poissona to ich suma już nie. Wynika to z faktu, że prawdopodobieństwo uzyskania w nawet w bardzo krótkim czasie więcej niż jednej rejestracji nie jest znikomo małe.

6.4. Statystyczny i niestatystyczny wybór zdarzeń
Wyobraźmy sobie, do czynienia ze zdarzeniami (np. liczba zliczonych cząstek) podlegającymi rozkładowi Poissona. Tym razem jednak nie rejestrujemy każdego z nich, lecz wybieramy które mają być "zliczane" w pewien losowy sposób (np. po przez rzucanie kostką do gry), przy czym to czy je będzie rejestrować zupełnie nie zależy od tego czy rejestrowaliśmy poprzednie. Oznacza to że każde zdarzenie jest rejestrowane z pewnym prawdopodobieństwem q. W takich warunkach otrzymane, "odsiane" rejestracje podlegają rozkładowi Poissona, ale ze zmienioną średnią - równą
m' = mq   (m - średnia pierwotna).

Przykładami takich sytuacji mogą być np. detektor w którym rejestracja zachodzi z prawdopodobieństwem rejestracji q lub pochłaniacz zatrzymujący cząstki z prawdopodobieństwem pochłonięcia q.
Inna sytuacja ma miejsce jeżeli wybór zdarzeń nie jest przypadkowy. Można sobie na przykład wyobrazić, że wybieramy co 20 lub w ogólności k-te zdarzenie. Wtedy nie jest spełniony warunek niezależności statystycznej zdarzeń - jeżeli wybierzemy pewne zdarzenie to następne k-1 zdarzeń nie będzie wybrane, zaś k-te będzie. Jednym słowem zarejestrowane zdarzenie nie będą podlegały rozkładowi Poissona. Dzieje się tak np. przy pracy przeliczników o współczynniku przeliczania k.
Inny niestatystyczny wybór związany jest z funkcjonowaniem detektorów z tzw. "czasem martwym". Detektor taki przez pewien czas po zarejestrowaniu czastki nie rejestruje innych.

6.5. Rejestracja zdarzeń przesuniętych w czasie.
Załóżmy, że mamy substancję promieniotwórczą o długim czasie połowicznego rozpadu, która rozpoczyna łańcuch promieniotwórczy. Rozpady jąder tej substancji podlegają rozkładowi Poissona. Ponieważ rozpady któregoś z członów tego łańcucha możemy traktować jako wynik przesunięcia w czasie rozpadów jąder substancji początkowej, to i one opisane są przez rozkład Poissona. Analogiczna sytuacja ma miejsce przy tworzeniu się łańcuchów promieniotwórczych w wyniku napromieniowywania tarcz strumieniem cząsteczek.



Spis treści reka