Weźmy jako przykład funkcji zmiennych losowych przypadek liniowy, który ze względu na swą prostą strukturę znajduje częste zastosowania.

Wektor stanowi zestaw liniowych funkcji zmiennych postaci:

,

(4,3,1)

co przyjmuje bardzo prostą postać w zapisie macierzowym

(4,3,2)

gdzie T jest macierzą współczynników.

Wartość oczekiwana zmiennej y może być wyrażona w prosty sposób, pamiętając wzór (3,1,21) na wartość oczekiwana sumy zmiennych losowych

,

(4,3,3)

Dla wyznaczenia macierzy kowariancji wykorzystamy wzór (4,1,16)

(4,3,4)

Otrzymana zależność umożliwi wyznaczenie niepewności funkcji zmiennych losowych znane jako "prawo propagacji błedów". Jeśli znamy wartości oczekiwane oraz odchylenia standardowe i kowariancje zmiennych niezależnych (wartości mierzonych), to możemy obliczyć obliczyć niepewności funkcji tych zmiennych. Zakładamy, że niepewności wielkości mierzonych są względnie niewielkie, więc gęstość prawdopodobieństwa (wynik pomiaru) jest znacząca tylko w pobliżu wartości oczekiwanej (wartości rzeczywistej mierzonej wielkości). Mając to na uwadze możemy wykonać rozwinięcie w szereg Taylora:

(4,3,5)

gdzie zaniedbujemy wyrazy wyższego rzędu.

W zapisie macierzowym można to przedstawić nastepująco

(4,3,6)

zaniedbując znowu wyrazy wyższego rzędu. Macierz współczynników T ma w tym przypadku postać

(4,3,7)

Uzyskaliśmy w ten sposób postać macierzy współczynników T, która po wstawieniu do wzoru (4,3,4) umożliwia wyznaczenie macierzy kowariancji C_y. Elementy diagonalne tej macierzy, to poszukiwane wariancje zmiennych będących funkcjami wielkości pomiarowych. Zauważmy, że na ich wartości mają wpływ także pozadiagonalne elementy macierzy kowariancji C_x. Dopiero gdy znikają kowariancje pomiędzy zmiennymi niezależnymi (wielkości mierzone są niezależne) możemy stosować uproszczone wzory propagacji bledów.

Kiedy tak jest, wówczas elementy diagonalne macierzy kowariancji C_y wyrażają sie prostymi wzorami

(4,3,8)

W ten sposób uzyskujemy znany z pracowni fizycznej wzór

(4,3,9)

Jest to właśnie wzór wyrażający "prawo propagacji błędów" (raczej - niepewności) . Pamiętajmy jednak, ze jest ono słuszne tylko w przypadkach  gdy znikają niediagonalne elementy macierzy kowariancji, tj, gdy zmienne pomiarowe są nieskorelowane.