Jeśli wynik powtarzanego w tych samych warunkach pomiaru przyjmuje różne wartości, to mówimy, że obarczony jest niepewnościami przypadkowymi i traktujemy go jako zdarzenie losowe. Zdarzeniu losowemu przypisujemy określoną wartość tzw. zmiennej losowej. W zależności od tego, jakie wartości może przyjmować dana zmienna losowa, mówimy o zmiennych losowych typu ciągłego lub typu dyskretnego (skokowego). Uwaga techniczna - zmienne losowe oznaczać będziemy symbolami prostymi  itd.

Dla opisu własności zmiennych losowych warto mieć na uwadze, że prawdopodobieństwo zdarzenia losowego A możemy określić poprzez stosunek

gdzie przy N wykonanych doświadczeniach wystąpiło n razy zdarzenie A. Definicja ta jest łatwa do zrozumienia na przykładzie rzutów kostką do gry gdzie dla idealnej kostki prawdopodobieństwo wyrzucenia danej liczby całkowitej z przedziału od 1 do 6 wynosi 1/6, prawdopodobieństwo wyrzucenia  liczby parzystej wynosi 1/3 itd. Ta liczby, które możemy uzyskać w rzutach kostką do gry, to właśnie przykłady liczb losowych typu dyskretnego. 

Jakie wartości wyników pomiarów (zmiennych losowych) są bardziej, a jakie mniej prawdopodobne? O tym mówi kształt rozkładu zmiennych losowych. Dla opisu rozkładu zmiennych losowych wprowadza się pojęcie tzw.  dystrybuanty F(x) zmiennej losowej Wielkość ta określona jest jako prawdopodobieństwo takiego zdarzenia, w którym wartość zmiennej losowej jest mniejsza od danej liczby x. 

Zauważmy, że kiedy wartość liczby x zmierza do nieskończoności, to wartość dystrybuanty określa prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego tj. zmierza do jedynki, kiedy zaś wartość liczby x zmierza do minus nieskończoności, to wartość dystrybuanty zmierza do zera:

Jeśli dystrybuanta jest funkcją ciągłą to wówczas funkcja określona jako

zwana jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa lub krótko, gęstością prawdopodobieństwa zmiennej losowej . Zgodnie z tą definicją, gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej określa prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia w którym , zaś prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa przyjmie wartość z przedziału pomiędzy a i b określone jest wyrażeniem

Wynika z tego również, że spełniony jest tzw. warunek normalizacyjny 

Ważną wielkością charakteryzującą rozkłady zmiennych losowych jest wartość przeciętna zwana też wartością oczekiwaną.  Wartość ta dla zmiennych losowych dyskretnych określona jest jako suma (po wszystkich możliwych wartościach zmiennej losowej) iloczynów wartości zmiennej losowej i odpowiadającego tej wartości prawdopodobieństwa. 

Dla zmiennych losowych ciągłych wartość oczekiwana określona jest poprzez funkcje gęstości prawdopodobieństwa

Czasami interesuje nas rozkład nie samej zmiennej losowej, ale wielkości będącej funkcją zmiennej losowej . Funkcja taka jest również zmienną losową dla której możemy określić dystrybuantę i gęstość prawdopodobieństwa. Wartość oczekiwana dla funkcji zmiennej losowej dyskretnej określa wzór

zaś dla zmiennej losowej o rozkładzie ciągłym mamy

Wielkie znaczenie ma funkcja postaci 

 Wartość oczekiwaną dla tak zdefiniowanej funkcji nazywa się momentem rzędu l względem wartości c

 Kiedy za c przyjmiemy wartość oczekiwaną, wówczas tak określony moment nazywamy momentem centralnym

Zauważmy, że możemy łatwo zapisać dwa pierwsze momenty centralne; rzędu zerowego i rzędu pierwszego

Moment centralny rzędu drugiego, 

zwany jest wariancją i odgrywa fundamentalną rolę w analizie niepewności pomiarowych. Kiedy wyniki pomiarów traktujemy jako wartości zmiennej losowej, to zgodnie z definicją, moment ten jest wartością przeciętną kwadratu różnic pomiędzy wynikami poszczególnych pomiarów a wartością oczekiwaną (która odpowiada wartości rzeczywistej) mierzonego obiektu. Zgodnie z definicją (2.1.10) moment ten określony jest wzorem   

Dodatnio określony pierwiastek z wariancji nosi nazwę odchylenia standardowego 

i jest podstawową wielkością charakteryzującą rozrzut wyników pomiarów wokół wartości przeciętnej (rzeczywistej).

Trzeci moment jest miarą asymetrii rozkładu i nazywany bywa współczynnikiem skośności (skośnością) rozkładu. Częściej stosowany jest bezwymiarowy parametr zwany współczynnikiem asymetrii zdefiniowany jako

Dla rozkładów symetrycznych parametr ten równy jest zeru. 

Rozpatrzmy najprostszy rozkład zmiennej losowej tzw. rozkład równomierny (jednostajny). W rozkładzie tym gęstość prawdopodobieństwa zachowuje wartość stałą w zadanym przedziale tj:

Zapiszmy warunek normalizacyjny określony wzorem (2.1.6)

Wynika z tego, że gęstość prawdopodobieństwa w przedziale od a do b wynosi

Znając gęstość prawdopodobieństwa możemy wyznaczyć dystrybuantę wykorzystując wzór (2.1.4)

Wartość oczekiwaną obliczamy zgodnie ze wzorem (2.1.8)

W ten sam sposób, posługując się wzorem (2.1.16), otrzymujemy wzór na wariancję w rozkładzie równomiernym

Rozkład równomierny jest nie tylko dobrym przykładem dla ilustracji podstawowych wielkości charakteryzujących rozkłady zmiennych losowych i ich parametry. Stanowi też podstawę generacji Monte-Carlo różnorodnych rozkładów statystycznych. Przykładowe rozkłady generowane są z użyciem programu EXCEL

W niektorych praktycznych zastosowaniach wygodnie jest zdefiniować funkcję postaci

Wartość oczekiwana dla tak zdefiniowanej funkcji równa jest zeru, bowiem

Wariancja równa jest jedności

Tak zdefiniowaną zmienną losową nazywamy zmienną znormalizowaną. Zmienne tago typu dla wielu rozkładów są podawane w postaci tablic. Znając wartości funkcji dla rozkładu znormalizowanego mozna łatwo otrzymać wartości dla rozkładu o danej wartości oczekiwanej i wariancji posługujac się zależnością (2.1.25).

Użyteczne bywa niekiedy zdefiniowanie tzw. wartości modalnej,, dla której

i która dla rozkładów mających określoną pierwszą i drugą pochodną, może być wyznaczona z warunków

Kiedy rozkład gęstości prawdopodobieństwa posiada jedno maksimum, nazywamy go jednomodalnym, kiedy posiada ich więcej, mamy do czynienia z rozkładem wielomodalnym.

Wartość zmiennej losowej, dla której dystrybuanta równa jest 1/2 , tj dzielącej rozkład prawdopodobieństwa na dwie części o równym prawdopodobieństwie, oznaczana x_0.5, zwana jest medianą. Mamy zatem

Dla zmiennych losowych o rozkładzie ciągłym możemy napisać

Podobnie możemy zdefiniować wielkości dzielące rozkład prawdopodobieństwa na więcej częsci. Na przykład wielkości x_0.25 oraz  x_0.75 dla których mamy

nazywamy odpowiednio dolnym i górnym kwartylem. Ogólnie, wielkości tego typu nazywamy kwantylami.

Nietrudno zauważyć, że dla jednomodalnych i ciągłych rozkładów symetrycznych, wartość przeciętna, modalna oraz mediana pokrywają się. Nie zachodzi to jednak dla rozkładów asymetrycznych.