Kiedy więc k będzie równe n/2, czyli kulka odbije się tyle samo razy w prawo co i w lewo, przemieszczenie sumaryczne wyniesie zero - pomiar nasz będzie dokładny. Kiedy k będzie równe n lub zero, przemieszczenie będzie największe i wyniesie ±nd; to największy dla danej wartości n możliwy błąd pomiaru w naszej procedurze modelowania.
W naszym przypadku odpowiada to sytuacji, kiedy błędy elementarne mają różne wartości. Twierdzenie to ma ogromne znaczenie praktyczne, a dzięki niemu rozkład Gaussa należy do najbardziej rozpowszechnionych rozkładów statystycznych.
Zmienna losowa x ma rozkład Gaussa, jeżeli jej gęstość prawdopodobieństwa
zdefiniowana jest następująco:
Rozkład jest symetryczny względem wartości a, dla której gęstość prawdopodobieństwa osiąga maksimum. Parametr s określa "szerokość" rozkładu. Warto zapamiętać, że prawdopodobieństwo występowania zmiennej losowej w granicach jednego odchylenia standardowego względem wartości przeciętnej wynosi około 68.2 % zaś w granicach trzech wartości s wynosi 99.8 %.
Kiedy liczba rzędów kołeczków jest bardzo duża wówczas korelacja staje się nieistotna i proces zapełniania przegródek możemy opisać rozkładem dwumianowym traktując trafienie do danej przegródki jako sukces zaś nie trafienie jako porażkę.
Oczywiście, wartość p=DPkn będzie
wówczas bardzo mała ale wartość oczekiwana takiego rozkładu będzie mieć nadal wartość
skończoną równą Np, gdzie N jest liczbą wykonanych pomiarów.
Ten graniczny przypadek rozkładu dwumianowego, kiedy p zdąża do zera a N zmierza do nieskończoności
ale tak, że iloczyn Np pozostaje stały, to także jeden z najważniejszych rozkładów statystycznych -
rozkład Poissona.
Inne przykłady tego rozkładu to: liczba aktów rozpadu substancji promieniotwórczej w ustalonym odcinku czasu, liczba gwiazd w określonym wycinku sfery niebieskiej, liczba klientów wchodzących do sklepu w danym odcinku czasu itp.
Rozkład Poissona, podobnie jak i rozkład dwumianowy, określony, jest dla dyskretnej zmiennej losowej;
Jedynym parametrem rozkładu Poissona jest wartość oczekiwana,l=np. Kwadrat odchylenia standardowego (wariancja) równa jest wartości oczekiwanej, s2=l Zwróćmy uwagę, że wartość stosunku s/l = 1/Öl zmniejsza się za wzrostem wartości oczekiwanej. Oznacza to, że błąd względny związany ze statystycznym charakterem naszego procesu maleje wraz ze wzrostem liczby pomiarów i ilościowo może być opisany przez pierwiastek kwadratowy z liczby trafień do danej przegródki.