Rozkład Bernoulliego (dwumianowy)

Niech nasza tablica Galtona posiada n poziomych rzędów kołeczków. Oznaczmy przez k liczbę przemieszczeń kulki w prawo nie interesując się w jakiej kolejności one zachodzą. Liczba kombinacji, w których kulka przemieści się k razy w prawo przy n rzędach kołeczków określona jest przez znany czynnik kombinatoryczny
C(n,k)

Zakładamy, że poszczególne przemieszczenia są wzajemnie niezależne, z czego wynika, że prawdopodobieństwo danej kombinacji przemieszczeń jest iloczynem prawdopodobieństw. Uzyskujemy wówczas bardzo prosty wzór określający prawdopodobieństwo tego, ze przy n rzędach kołeczków kulka przemieści się k razy w prawo.

P(k,n)
Jest to wzór opisujący tzw. dwumianowy rozkład prawdopodobieństwa. Wartość oczekiwana dla tego rozkładu wynosi: E(k)=np, zaś kwadrat odchylenia standardowego (wariancja), l2=np(1-p)=npq. Przy k przemieszczeniach w prawo, które przyjmijmy za dodatnie, przemieszczenie sumaryczne kulki wyniesie

x(k) = kd+(n-k)(-d) = (2k-n)d

Kiedy więc k będzie równe n/2, czyli kulka odbije się tyle samo razy w prawo co i w lewo, przemieszczenie sumaryczne wyniesie zero - pomiar nasz będzie dokładny. Kiedy k będzie równe n lub zero, przemieszczenie będzie największe i wyniesie ±nd; to największy dla danej wartości n możliwy błąd pomiaru w naszej procedurze modelowania.

Rozkład Gaussa (normalny)

Można pokazać, że sumy zmiennych losowych podlegają rozkładowi Gaussa nawet wówczas gdy nie wszystkie xi pochodzą z tego samego rozkładu.

W naszym przypadku odpowiada to sytuacji, kiedy błędy elementarne mają różne wartości. Twierdzenie to ma ogromne znaczenie praktyczne, a dzięki niemu rozkład Gaussa należy do najbardziej rozpowszechnionych rozkładów statystycznych.

Zmienna losowa x ma rozkład Gaussa, jeżeli jej gęstość prawdopodobieństwa zdefiniowana jest następująco:

f(x)

gdzie: a=E(x) jest wartością przeciętna, a s jest odchyleniem standardowym.

Rozkład jest symetryczny względem wartości a, dla której gęstość prawdopodobieństwa osiąga maksimum. Parametr s określa "szerokość" rozkładu. Warto zapamiętać, że prawdopodobieństwo występowania zmiennej losowej w granicach jednego odchylenia standardowego względem wartości przeciętnej wynosi około 68.2 % zaś w granicach trzech wartości s wynosi 99.8 %.

Rozkład Poissona

Kiedy liczba rzędów kołeczków jest bardzo duża wówczas korelacja staje się nieistotna i proces zapełniania przegródek możemy opisać rozkładem dwumianowym traktując trafienie do danej przegródki jako sukces zaś nie trafienie jako porażkę.

Oczywiście, wartość p=DPkn będzie wówczas bardzo mała ale wartość oczekiwana takiego rozkładu będzie mieć nadal wartość skończoną równą Np, gdzie N jest liczbą wykonanych pomiarów.
Ten graniczny przypadek rozkładu dwumianowego, kiedy p zdąża do zera a N zmierza do nieskończoności ale tak, że iloczyn Np pozostaje stały, to także jeden z najważniejszych rozkładów statystycznych - rozkład Poissona.

Inne przykłady tego rozkładu to: liczba aktów rozpadu substancji promieniotwórczej w ustalonym odcinku czasu, liczba gwiazd w określonym wycinku sfery niebieskiej, liczba klientów wchodzących do sklepu w danym odcinku czasu itp.

Rozkład Poissona, podobnie jak i rozkład dwumianowy, określony, jest dla dyskretnej zmiennej losowej;

P(k)

Jedynym parametrem rozkładu Poissona jest wartość oczekiwana,l=np. Kwadrat odchylenia standardowego (wariancja) równa jest wartości oczekiwanej, s2=l Zwróćmy uwagę, że wartość stosunku s/l = 1/Öl zmniejsza się za wzrostem wartości oczekiwanej. Oznacza to, że błąd względny związany ze statystycznym charakterem naszego procesu maleje wraz ze wzrostem liczby pomiarów i ilościowo może być opisany przez pierwiastek kwadratowy z liczby trafień do danej przegródki.