Prawo Ohma

Jaki prąd popłynie w materiale do którego przyłożymy różnicę potencjałów U? Odpowiedź na to pytanie nie jest jednoznaczna.

Dla większości metali w obszarze umiarkowanych temperatur (bliskich temperaturze pokojowej) zależność prądu od przyłożonego napięcia jest prostą proporcjonalnością, tzn. jest liniowa.

(9.2.1)

gdzie współczynnik proporcjonalności k nazywamy przewodnością, a jego odwrotność R - opornością przewodnika. To empiryczne prawo sformułowane dla metali nosi nazwę prawa Ohma. Wnioskiem z prawa Ohma jest to, że oporność metali, w pewnym zakresie temperatur jest stała.

Wartość oporności przewodnika zależy zarówno od rodzaju samego materiału jak i jego kształtu i rozmiarów. Dla scharakteryzowania własności materiału wprowadza się pojęcie oporności właściwej . Związek pomiędzy opornością a opornością właściwą określa wzór

(9.2.2)

gdzie l jest długością przewodnika, a S jego przekrojem poprzecznym, przez który przepływa prąd.

Zależność oporności od zmiany temperatury w zakresie umiarkowanych temperatur także w przybliżeniu można opisać funkcją liniową

(9.2.3)

gdzie R₀ jest opornością w temperaturze T₀, za którą zazwyczaj przyjmuje się temperaturę T₀= 0^oC, a jest temperaturowym współczynnikiem oporności.

Zapisując prawo Ohma w postaci

(9.2.4)

zauważamy, że jeżeli znamy natężenie prądu i oporność pomiędzy dwoma punktami danego materiału, to możemy wyznaczyć także różnicę potencjałów pomiędzy nimi. Na tej właśnie zasadzie działają tzw. potencjometry - układy pozwalające wyznaczać i zmieniać różnicę potencjałów.

Zwróćmy jeszcze uwagę, że zależność (9.2.4) między napięciem i natężeniem prądu w przewodniku jest zawsze słuszna (R jest w ogólności tzw. opornością statyczną przy danym napięciu U.), natomiast będzie ona wyrażała prawo Ohma tylko wtedy, gdy R=const dla różnych U lub I.

Należy także zwrócić wagę, że wiele materiałów i elementów przewodzących prąd elektryczny nie stosuje się do prawa Ohma. Zależność prądu od różnicy potencjałów nie jest w tych materiałach liniowa, czyli oporność przy różnych napięciach jest różna. . Materiały takie odgrywają ważną rolę w układach elektronicznych, gdzie właśnie wykorzystywana jest nieliniowa zmiana ich oporności od przyłożonego napięcia bądź temperatury.

Prawo Ohma możemy też sformułować w postaci różniczkowej, korzystając z definicji wektora gęstości prądu, wzór (9.1.2). W tym celu zróżniczkujmy wzór (9.2.1) zakładając, że oporność zachowuje wartość stałą i zastosujmy wzór (9.2.2) do elementu przewodnika o długości dl i powierzchni dS oraz wykorzystujemy związek pomiędzy różnicą potencjałów i natężeniem pola analogiczny jak w zależności (8.3.22). Otrzymujemy wtedy

(9.2.5)

Założyliśmy tu, że wektory natężenia pola i gęstości prądu są równoległe, co jest słuszne w ciałach izotropowych. (W ciałach anizotropowych wprowadza się pojęcie tensora przewodnictwa, czego nie będziemy tu omawiać.) Dla omawianego tu przypadku możemy zapisać wektorową zależność między gęstością prądu i natężeniem pola elektrycznego wynikająca z ostatniej równości po prawej stronie we wzorze (9.2.5)

(9.2.6)

gdzie przez oznaczyliśmy wielkość zwaną przewodnością właściwą materiału. Wzór ten wyraża prawo Ohma w postaci różniczkowej. Zwróćmy uwagę, że i w tej postaci prawo to, stwierdzając zależność liniową pomiędzy wektorami i , wymaga aby .

Jaki jest sens fizyczny wyprowadzonych przez nas zależności? Ze wzoru (9.1.7) widzimy, że gęstość prądu jest proporcjonalna do prędkości unoszenia ładunków w przewodniku; ze wzoru (9.2.6), że jest również proporcjonalna do natężenia pola, które jest przyczyną uporządkowanego ich ruchu. Z porównania tych wzorów wynika, że prędkość nośników związana z przepływem prądu jest proporcjonalna do natężenia pola. Zauważmy przy tym, że równanie (9.2.6) jest konsekwencją prawa Ohma. Sytuacja jest tu zasadniczo inna niż w przypadku ruchu ładunków w próżni, gdzie pochodna prędkości, (przyspieszenie), jest proporcjonalna do natężenia pola, wzór (2.5.4).

Na czym ta różnica polega? W metalach występują wprawdzie swobodne elektrony, ale znajdują się one w ciągłym chaotycznym ruchu, którego średnia prędkość przekracza o wiele rzędów wielkości typowe prędkości unoszenia określone wzorem (9.1.8). Uporządkowany ruch nośników nakłada się więc na chaotyczny ruch cieplny, zaś określona wartość prędkości unoszenia, mimo działania na nośniki stałej siły ze strony stałego pola elektrycznego, jest rezultatem ustalenia się równowagi pomiędzy siłą wynikającą z istnienia pola elektrycznego i siły hamującej wynikającej z chaotycznego ruchu nośników. w czasie którego zderzają się z rdzeniami atomowymi (jonami) metalu. Sytuacja podobna jest do ruchu spadochroniarza, którego prędkość opadania wynika z równowagi pomiędzy siłą przyciągania grawitacyjnego, a siłą oporu powietrza.