Prawo Gaussa

Obliczmy strumień wektora natężenia pola elektrycznego przez powierzchnię zamkniętą otaczającą ładunek elektryczny . (Strumień definiujemy jako iloczyn skalarny wektora natężenia pola przez element powierzchni.)

gdzie wartość wektora natężenia pola elektrycznego określiliśmy w punkcie odległym o odcinek od ładunku . Przez oznaczyliśmy projekcję elementu powierzchni odległej o od tego ładunku na  powierzchnie prostopadłą do prostej przechodzącej przez ładunek i tę powierzchnię; patrz Rys.8.4.1. (Dla większej przejrzystości powierzchnia została odsunięta na rysunku na większą odległość z zachowaniem rozmiarów kątowych.) Powierzchnia określa równocześnie kąt bryłowy , który zgodnie z definicją równy jest . Jak wiemy z geometrii, pełny kąt bryłowy  wynosi , bowiem cała powierzchnia kuli równa jest .

Rys.8.4.1. Strumień pola elektrycznego przez powierzchnię dS.

Wzór (8.4.1) możemy więc zapisać w postaci

 Strumień przez powierzchnie zamknięta otrzymamy całkując to wyrażenie po pełnym kącie bryłowym

Widzimy, że strumień natężenia pola elektrycznego przez powierzchnię zamkniętą obejmującą ładunek punktowy równy jest wartości tego ładunku podzielonej przez . Kiedy ten ładunek równy jest zeru, lub kiedy zamknięta powierzchnia nie obejmuje ładunku, to wówczas strumień równy jest zeru.

Kiedy wewnątrz danej powierzchni zamkniętej znajduje się wiele ładunków punktowych, to zgodnie z zasadą superpozycji pól mamy dla  ładunków

Przez oznaczyliśmy pole pochodzące od ładunku o numerze . Mając na uwadze, że każda z całek po prawej stronie wzoru (8.4.4) równa jest otrzymujemy

Kiedy mamy do czynienia z ciągłym rozkładem ładunków w danej objętości , to zgodnie ze wzorem (2.8.4) definiujemy gęstość ładunku

gdzie jest ładunkiem zawartym w elemencie objętości . Całkowity ładunek  wyznaczymy całkując gęstość ładunku po objętości

Zależność (8.4.5) można dla przypadku ładunków o rozkładzie ciągłym zapisać więc w postaci

Wykorzystajmy prawo Gaussa do obliczenia natężenia pola w punktach znajdujących się na zewnątrz i wewnątrz powierzchni kulistej (sfery) o promieniu R naładowanej ze stałą  gęstością powierzchniową . Niech r  będzie odległością punktu od środka naładowanej powierzchni kulistej. Ze względu na symetrię sferyczną wektor natężenia pola jest w każdym punkcie skierowany wzdłuż promienia, a wartość natężenie pola jest jednakowa dla równoodległych od środka sfery punktów. Prawo Gaussa możemy w tym przypadku zapisać dla punktu na zewnątrz naładowanej powierzchni w postaci skalarnej

We wzorze (8.4.9) najpierw skorzystaliśmy z faktu, że kierunek wektora natężenia pola pokrywa się z kierunkiem normalnej do powierzchni sferycznej (zamieniając iloczyn skalarny wektorów iloczynem ich wartości), następnie wiedząc, że natężenie pola jest stałe dla stałej odległości od środka powierzchni kulistej,  wyłączyliśmy E przed znak całki, potem wykonaliśmy całkowanie po powierzchni o promieniu r , co dało po prostu powierzchnię sfery . Wreszcie ostatnia równość jest zapisem prawa Gaussa, gdzie gęstość powierzchniowa   pomnożona przez pole sfery o promieniu R jest całkowitym ładunkiem zgromadzonym na powierzchni tej sfery. Natężenie pola na zewnątrz sfery wyraża się więc wzorem

Dla punktów znajdujących się w odległości mniejszej niż R od środka naładowanej powierzchni kulistej natężenie pola musi być równe zeru, bowiem wewnątrz sfery o promieniu mniejszym niż R nie ma po prostu żadnego ładunku. 

Kiedy ładunek rozłożony jest jednorodnie w całej objętości kuli, nie tylko na powierzchni  z gęstością objętościową  to stosując bezpośrednio wzór (8.4.8) otrzymujemy

skąd otrzymujemy natychmiast wyrażenie na natężenie pola wewnątrz kuli w punkcie odległym o r od jej środka

Natężenie pola na zewnątrz kuli otrzymamy identycznie jak dla powierzchni sferycznej zastępując tylko powierzchniową gęstość ładunku, gęstością objętościową. Całkowity ładunek kuli jest wtedy równy.

Uzyskaliśmy szereg ważnych rezultatów mówiących, że natężenie pola elektrycznego:

1. wewnątrz naładowanej powierzchni kulistej równe jest zeru, zaś na zewnątrz jest odwrotnie  proporcjonalne do kwadratu odległości od jej środka ,
2. wewnątrz jednorodnie naładowanej kuli jest proporcjonalne do odległości od jej środka,
3. na zewnątrz kuli jest jest odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości od jej środka , co odpowiada sytuacji, jakby cały ładunek był skupiony w środku kuli.
4. pola na zewnątrz kuli i powierzchni kulistej są identyczne, jeśli ten sam ładunek zgromadzony jest w obu przypadkach.

Zależności te zilustrowane są na rysunku 8.4.2. gdzie pokazana jest zależność natężenia pola elektrycznego od odległości punktu w którym wyznaczamy pole od środka kuli. Kolorem czerwonym pokazana jest ta  zależność dla naładowanej powierzchni kulistej i kolorem niebieskim dla jednorodnie naładowanej kuli. Rys. 8.4.2. Natężenie pola elektrycznego od naładowanej powierzchni kulistej i jednorodnie naładowanej kuli