Potencjał pola

Obliczmy pracę wykonaną przez siły pola elektrycznego przy przemieszczaniu próbnego ładunku q₀ z punktu A do punktu B w polu elektrycznym wytworzonym przez punktowy ładunek Q.  

Schemat geometryczny przedstawia  Rys.8.3.1.  Na rysunku tym oznacza promień wodzący ładunku  , zaś jest jego wersorem tzn.. Początek wektora znajduje się w punkcie położenia ładunku . Symbolem i strzałką brązową oznaczona jest siła działająca na ładunek ze strony ładunku (Zakładamy, że znaki ładunków są takie same, więc siła jest odpychająca.) Odległość punktu od środka  ładunku wynosi ;  odległość punktu wynosi . Zmiana odległości pomiędzy środkami ładunków przy przemieszczeniu o infinitezymalny odcinek   wynosi  . Zauważmy, że kiedy wektor przemieszczenia jest prostopadły do wektora , to  odległości pomiędzy ładunkami nie zmienią się pomimo przemieszczenia, kiedy jest równoległy, to długość wektora równa jest .   Kolorem pomarańczowym oznaczony jest przykładowy tor ładunku  z punktu do punktu .

Rys.8.3.1.  Przemieszczenie ładunku   z punktu do punktu w polu elektrycznym ładunku .

Siła działająca na ładunek   ze strony ładunku wynosi

Zauważmy, że dla ładunków jednoimiennych kierunek siły jest zgodny z kierunkiem wersora . Praca wykonana przez siły przyciągania elektrostatycznego przy przesunięciu  ładunku  o infinitezymalny odcinek wynosi więc. 

Iloczyn skalarny równy jest zmianie odległości  .  Praca pola przy przesunięciu  ładunku   z punktu do punktu wyniesie więc

Widzimy, że praca wykonana przez siły pola elektrycznego przy przemieszczeniu ładunku z  punktu do punktu nie zależy od kształtu drogi po której odbywało się przemieszczenie i określona jest przez wartości ładunków oraz odległości punktów  od ładunku wytwarzającego pole.

Niezależnie od tego, czy przemieszczenie odbywa się po linii prostej, czy po krzywej pokazanej przykładowo na rysunku - wykonana praca jest taka sama. Kiedy więc położenia obu punktów znajdują się w tej samej odległości od ładunku wytwarzającego pole - wykonana praca wynosi zero, niezależnie od kształtu drogi po której poruszał się ładunek , choćby nawet droga ta była długa i skomplikowana. Oznacza to, że wykonana praca wynosi zero, kiedy punkt końcowy pokrywa się z punktem początkowym (przemieszczenie po drodze zamkniętej). 

Wykonana praca wiąże się ze zmianą położenia - równa jest więc różnicy energii potencjalnych ładunku   w punktach i , co oznaczyliśmy jako . Dodanie lub odjęcie stałej wartości do i nie zmienia tej  różnicy. Mówimy, że energia potencjalna  wyznaczona została z dokładnością do stałej dowolnej

Z postaci wzoru (8.3.6) widać, że jeżeli , to energia potencjalna równa jest tej stałej tzn. . Wtedy jednak znika oddziaływanie elektrostatyczne. Przyjmujemy więc, że stała ta równa jest zeru, a wtedy

Wyrażenie to określa energię potencjalną ładunku będącego pod działaniem siły pochodzącej od ładunku   znajdującego się w odległości . Energia ta równa jest pracy wykonanej przy przemieszczeniu ładunku  z danego punktu pola do nieskończoności. Energia ta również  charakteryzuje pole w danym punkcie, jest jednak wciąż zależna od wartości ładunku próbnego. 

Kiedy pole wytwarzane jest przez  układ N ładunków wówczas w konsekwencji zasady superpozycji pól praca związana z przemieszczeniem ładunku pomiędzy dwoma punktami w tym polu równa jest sumie algebraicznej prac sił pochodzących od poszczególnych ładunków.

Podobnie, potencjał pola równy będzie

co oznacza, że potencjał pola pochodzącego od sumy ładunków równy jest sumie algebraicznej potencjałów pochodzących od poszczególnych ładunków tego układu.

Ze wzoru  (8.3.8) wynika, że znając potencjał pola w danym punkcie można wyznaczyć energię potencjalną ładunku, który w tym punkcie się znajduje 

Znając potencjał w dwóch punktach pola można z kolei wyznaczyć pracę sił pola przy przesuwaniu ładunku pomiędzy tymi punktami  

Praca ta równa jest iloczynowi ładunku i różnicy potencjałów pomiędzy położeniem początkowym i końcowym tego ładunku. Kiedy punkt końcowy przesuwa się do nieskończoności, gdzie potencjał pola równy jest zeru, to wykonana praca wynosi

Wynika stąd ważny wniosek

Praca związana z przemieszczaniem ładunku w polu elektrycznym jest bezpośrednią konsekwencją sił działających na ładunek; siły zaś bezpośrednio wiążą się z natężeniem pola elektrycznego. Stwierdzenia te prowadzą do wniosku, że pomiędzy  natężeniem pola i potencjałem musi istnieć określony związek.

Z kursu mechaniki pamiętamy, że wykonanie pracy przez siły potencjalne nad ciałem powoduje ubytek energii potencjalnej ciała. W przypadku pola elektrycznego mamy analogiczną zależność

 czyli

Pamiętając o własnościach iloczynu skalarnego wektorów widzimy natychmiast, że kiedy ruch odbywa się w kierunku prostopadłym do kierunku natężenia pola, to zmiana potencjału wynosi zero. Mówimy wtedy, że ruch odbywa się po tzw. powierzchni ekwipotencjalnej. Kiedy zaś ruch odbywa się wzdłuż kierunku natężenia pola to zmiana potencjału z tym ruchem związana jest największa. Dla takiego przypadku możemy wzór (8.3.16) zapisać w postaci skalarnej. Niech kierunek wektora natężenia pola będzie zgodny z kierunkiem osi X, wtedy

z czego wynika, że

Kiedy jednak kierunki wektorów i będą dowolne, wówczas zależności (8.3.17,18) odpowiadają relacji pomiędzy składową wektora natężenia pola w kierunku danej osi układu współrzędnych a pochodną cząstkową zmiany potencjału przy zmianie tylko tej współrzędnej, czyli

W postaci wektorowej możemy relacje (8.3.19) zapisać następująco 

Związek ten umożliwia wyznaczenie natężenie pola jeśli znamy rozkład jego potencjału i na odwrót -   wyznaczenie potencjału jeśli znamy rozkład natężenia pola. Pamiętając, że siłę działającą na ładunek w polu możemy wyrazić przez iloczyn wartości ładunku i natężenia pola możemy zapisać wyrażenie na pracę sił pola elektrycznego przy przemieszczaniu ładunku pomiędzy punktami A i B w postaci (patrz wzory (8.3.4), (8.3.5) i (8.3.13)).  Na podstawie wzoru (8.3.21) i poprzedzających go widzimy, że natężenia pola elektrycznego możemy też wyrazić w woltach na metr.

Dzieląc obustronnie ostatnią równość przez otrzymujemy

Mając na uwadze, że praca na odcinku od do zależy wyłącznie od różnicy potencjałów w tych punktach i nie jest zależna od drogi po której odbywa się przemieszczenie, to dla przemieszczenia po konturze zamkniętym, kiedy punkty i pokrywają się,  mamy

Oczywiście zakładamy tu, że w czasie przemieszczenia w poszczególnych punktach nie zmienia się natężenie pola. Pole takie nazwaliśmy elektrostatycznym.  Równanie (8.3.23) określa podstawową właściwość pola elektrostatycznego i jest spełnione dla wszystkich pól potencjalnych (posiadających potencjał).