Transformacja Galileusza

Rys.7.3. Układ ruchomy porusza się ruchem jednostajnym i prostoliniowym wzdłuż osi Z.
 Rozpatrzmy najprostszy przypadek. Układ ruchomy porusza się względem nieruchomego ruchem jednostajnym i prostoliniowym wzdłuż osi Z', która pokrywa się z osią Z (patrz Rys.7.3). Przyspieszenie dowolnego ciała w obu układach jest takie samo tzn. , bowiem pochodna prędkości translacyjnej względem czasu jest równa zeru (prędkość translacyjna jest stała), zaś pozostałe składniki we wzorze (7.12) się zerują, gdyż układ ruchomy porusza się jedynie ruchem prostoliniowym, . 

Mamy więc:

(7.16)
Z kolei, ze wzoru (7.3) wynika, że składowe prędkości w kierunkach X i Y w układzie nieruchomym też będą równe odpowiadającym im składowym w układzie poruszającym się, bowiem prędkość translacyjna w tych kierunkach równa jest zeru. W układzie nieruchomym składowa w kierunku osi  Z będzie sumą odpowiedniej składowej w układzie ruchomym i prędkości translacyjnej. Mamy więc:

(7.17)

Związek pomiędzy położeniem dowolnego punktu w obu układach dany jest wzorem (7.1). Przyjmijmy, że w chwili czasu  środki obu układów, O i O'  pokrywają się, czyli .  Na podstawie wzoru (7.4) możemy napisać

(7.18)
gdzie jest składową Z wektora .  Składowe tego wektora w kierunkach X i Y są oczywiście równe zeru. 

Położenie punktu w układzie nieruchomym, dane wzorem (7.1), ma w naszym przypadku dla poszczególnych składowych wektora położenia następującą postać:

 (7.19)
Ostatnia z równości wyraża założenie o równości upływu czasu, w różnych układach odniesienia. Do tego zagadnienia powrócimy jeszcze przy omawianiu ruchów z prędkościami bliskimi prędkości światła.

 Zależności te stanowią treść tzw. transformacji Galileusza łączącej współrzędne punktu w układzie, który porusza się ze stałą prędkością w nie zmieniającym się kierunku, zgodnym ze zwrotami osi   i oraz w układzie nieruchomym gdy osie obu układów są wzajemnie równoległe. 

Przytoczmy kilka przykładów transformacji Galileusza w praktyce. Pierwszym jest oczywiście przykład z poruszającymi się ruchem jednostajnym, prostoliniowym: wagonem, statkiem czy samolotem, których ruch względem ziemi dodaje się do naszego ruchu wewnątrz nich. Klasycznym przykładem są też ruchome schody. Transformacja Galileusza ostrzega również, by (niezależnie od innych względów) nie wyrzucać przedmiotów z jadących pojazdów. Wyrzucony, nawet z niewielką prędkością, przedmiot z pędzącego samochodu porusza się z  podobną jak samochód prędkością względem drogi i może być po prostu - niebezpieczny.