Związek pomiędzy pochodnymi wektora w układzie nieruchomym i w układzie poruszającym się

 

Rys.1 Wektor w układzie nieruchomym (X,Y,Z) i w układzie poruszającym się (X',Y',Z').

Na rysunku obok pokazany jest kolorem czerwonym jakiś dowolny wektor, który oznaczyliśmy litera i pokazaliśmy promienie wodzące jego końców kolorem niebieskim w układzie nieruchomym i kolorem brązowym w układzie poruszającym się. Z rysunku widać ,  że

(1)

Wiemy, że prędkość, czyli pochodna wektora położenia względem czasu w układzie nieruchomym może być wyrażona przez sumę prędkości w układzie ruchomym i prędkości unoszenia, co zapisaliśmy jako (Patrz wzór (7.4), gdzie ( ' ) oznacza układ poruszający się.) 

Dla wektorów położenia obu końców wektora możemy zapisać ich pochodną względem czasu w postaci

Kiedy teraz odejmiemy stronami wyrażenie pierwsze od drugiego i wykorzystamy zależność (1) uzyskamy związek pomiędzy pochodnymi dowolnego wektora w układzie nieruchomym i w  układzie poruszającym się.

W wyniku odejmowania zniknął człon związany z ruchem translacyjnym, bowiem dotyczy on jednakowo obu końców wektora .  Dla przykładu - pochodne wersorów  układu poruszającego się ( zaznaczone na rysunku kolorem fioletowym) liczone w układzie poruszającym się i układzie spoczynkowym wynoszą:

Jest to intuicyjnie zrozumiałe. Wersory w swoim własnym układzie nie zmieniają położenia w czasie, choćby on sam był w ruchu, więc ich pochodne względem czasu wynoszą zero.  Kiedy rozpatrywane są w układzie, który wykonuje obrót w układzie nieruchomym, zmienia się ich kierunek i to odzwierciedla iloczyn wektorowy z prędkością kątową. Kiedy jednak układ porusza się tylko ruchem postępowym, wersory nie zmieniają ani swej długości ani kierunku wiec ich pochodne nie zawierają zależności od ruchu translacyjnego.

Warto jeszcze zapisać ważny w naszych rozważaniach przypadek. Pochodna względem czasu wektora położenia punktu w układzie poruszającym się rozpatrywana w układzie nieruchomym wynosi