Bilans energii w ruchu harmonicznym

Energia potencjalna i kinetyczna

Przypomnijmy związek pomiędzy siłą F, a zmianą energii potencjalnej dEp  na odcinku drogi dx, w pobliżu punktu x; wzór (4.10b).

lub

(6.19)

W naszym przypadku siłę i odchylenie z położenia równowagi łączy związek(6.1). 

Energię potencjalną w punkcie x możemy więc wyznaczyć jako

(6.20)

przyjmując, że w położeniu równowagi (x=0), Ep(x)=0.

Energia kinetyczna ciała o masie m poruszającego się z prędkością  u wynosi
(6.21)

Energia całkowita

Dodajmy do siebie obie energie:

(6.22)

Podstawiając wartości x oraz u ze wzorów (6.4) i (6.5) otrzymujemy:

(6.23)

Energia całkowita tj. suma energii potencjalnej i kinetycznej nie zależy ani od x,  ani od u  i jest w każdej chwili (a więc i w każdym punkcie) taka sama, wprost proporcjonalna do kwadratu amplitudy. 

Wynik ten nie dziwi nas; jest prostą konsekwencją zasady zachowania energii. Odchylenie ciała od położenia równowagi, to dostarczenie mu energii potencjalnej. Jeżeli potem nie ingerujemy w ruch ciała, to uzyskiwana w czasie ruchu do położenia równowagi energia kinetyczna jest równoważna traconej przez ciało energii potencjalnej. Po minięciu położenia równowagi sytuacja jest odwrotna - ciało traci energię kinetyczną, ale zyskuje potencjalną itd.

Interaktywna ilustracja graficzna

Załączone rysunki przedstawiają zależność od położenia i od czasu energii kinetycznej i potencjalnej oraz będącej ich sumą energii całkowitej. Widzimy, że zmniejszaniu się energii potencjalnej towarzyszy wzrost energii kinetycznej, i na odwrót, zaś suma obu rodzajów energii pozostaje wartością stałą niezależnie od położenia i od czasu. Związki pomiędzy położeniem ciała i jego prędkością, a energią kinetyczną, potencjalną i całkowitą możesz prześledzić sam korzystając z załączonej ilustracji interaktywnej.
MS-Excel Interaktywna ilustracja graficzna  

Kliknij w polu rysunku.

Rys.6..  Bilans energii w ruchu harmonicznym w funkcji położenia i czasu