Równanie ruchu harmonicznego

Jako przykład rozpatrzmy ruch ciała o masie m zawieszonego na sprężynie (czerwona kulka).

Siła przywracająca ciało do położenia równowagi zależna jest od wielkości odchylenia i jeśli odkształcenia są doskonale sprężyste, wyrażona jest przez znane nam już prawo Hooke'a  (patrz wzór (3.28) oraz animacja powyżej.) 
 (6.1)
W zależności tej F jest siłą, x - odchyleniem, czyli aktualnym położeniem ciała określonym względem położenia równowagi; k jest współczynnikiem proporcjonalności charakteryzującym własności sprężyny. 

Jeżeli współczynnik ten nie zmienia się w czasie ruchu, to wartość siły jest wprost proporcjonalna do wielkości odchylenia od położenia równowagi. Ruch odbywający się pod wpływem takiej siły nazywamy ruchem harmonicznym, a siły o tej własności nazywamy siłami harmonicznymi. Proporcjonalność siły do odchylenia jest najbardziej charakterystyczną własnością, wspólną dla wszystkich sił harmonicznych, mimo że siły te nie ograniczają się wyłącznie do sił sprężystości. Znak minus oznacza, że kierunek siły jest przeciwny do kierunku odchylenia. 

Równanie Newtona dla siły harmonicznej

Korzystając z drugiego prawa dynamiki możemy równanie ruchu ciała o masie m pod działaniem siły (6.1) zapisać następująco:
(6.2)

Przepiszemy to równanie w postaci

(6.2a)
gdzie wprowadziliśmy wielkość w zdefiniowaną jako
(6.3)

Równanie (6.2a) jest równaniem różniczkowym drugiego rzędu. Niewiadomą w tym równaniu jest odchylenie od położenia równowagi x, a ściślej mówiąc, zależność tego odchylenia od czasu t.  

Poszukujemy więc takiej funkcji x=f(t), której druga pochodna d2x/dt2 równa jest jej samej wziętej ze znakiem minus i pomnożonej przez pewną stałą, którą oznaczyliśmy przez w2.
Jaka funkcja ma taką właściwość? Oczywiście -  funkcje, sinus i cosinus. Nietrudno sprawdzić, że podany wyżej warunek zostanie zachowany także jeśli funkcje te pomnożymy przez stały czynnik, a do argumentu dodamy dowolną stałą.

Postać rozwiązania

Sprawdźmy więc, czy podany wyżej warunek będzie spełniony zakładając, że rozwiązanie (czyli zależność położenia od czasu) ma postać:

(6.4)

gdzie  A oraz j,  to wartości stałe, nie zmieniające się w czasie.

Liczymy pierwszą pochodną, czyli dx/dt.  Zwróćmy uwagę, że pierwsza pochodna położenia po czasie to po prostu chwilowa prędkość ciała, u.

 (6.5)

Druga pochodna, czyli przyspieszenie ciała a, wynosi

(6.6)
Rzeczywiście, druga pochodna ma tę samą postać, co funkcja (4) ale wzięta ze znakiem minus i pomnożona przez w2 . Funkcja (4) jest więc rozwiązaniem naszego równania.

 

Znaczenie parametrów

Przeanalizujmy teraz sens fizyczny stałych: A, w oraz j. Stałe te stanowią parametry naszego rozwiązania. Pamiętamy, że maksymalna i minimalna wartość funkcji sinus i cosinus to +1 i -1. 

Maksymalne odchylenie  ciała od położenia równowagi, które możemy wyrazić np. w centymetrach , określone jest przez odchylenie początkowe i wyrażone jest poprzez wartość stałej A. Wymiar tej stałej jest taki sam, jak wymiar odchylenia. Stała A, to amplituda w ruchu harmonicznym.

Wielkość w,  którą zdefiniowaliśmy już wcześniej nazywa się częstością drgań własnych układu. Wielkość ta jest zasadniczą charakterystyką układu wykonującego drgania pod wpływem siły harmonicznej. Określona jest wzorem (6.3) przez własności tej siły ( współczynnik k) oraz samego układu (masa m) . 

Zauważmy teraz, że jeśli argument funkcji cosinus w formule (6.6) zmienimy o wielokrotność 2p, to wartość funkcji nie zmieni się, bo takie są własności funkcji  sinus i cosinus. Aby zaś wyrażenie w nawiasie formuły (6.6) wzrosło o 2p musimy czas  t zwiększyć o  2p/w (sprawdź to). Po okresie czasu  2p/w  ciało przyjmie znów to samo położenie. Sytuacja będzie powtarzać się po kolejnych, takich samych przyrostach czasu. Przedział czasu 

(6.7)

to okres w ruchu harmonicznym i wyraża się w jednostkach czasu czyli np. w sekundach. Wielkość w łączy z okresem zależność (7) czyli  w=2p/T. Odwrotność okresu

(6.8)

nazywa się częstotliwością w ruchu harmonicznym. Jest to liczba okresów T w jednostce czasu. Wymiarem częstotliwości jest 1/s; jednostką jest 1 herc (Hz), Częstotliwość drgań wynosi 1Hz, kiedy czas trwania jednego okresu równy jest jednej sekundzie. 

Stała j, to faza początkowa naszego ruchu. Wraz z wartością amplitudy określa ona wychylenie w chwili początkowej tj. dla t=0. Zauważmy, że jeśli faza początkowa będzie równa -p/2, to otrzymamy z równania (4)

 
(6.9)

czyli dla t=0 wychylenie będzie x=0. Oczywiście, jeśli do wartości fazy początkowej dodamy liczbę będącą wielokrotnością kąta pełnego 360o czyli 2p, to uzyskamy to samo wychylenie, x.

Interaktywna ilustracja graficzna

Opisane wyżej zależności możesz teraz sprawdzić sam korzystając z interaktywnej ilustracji graficznej. Z jej pomocą możesz prześledzić zależność wychylenia, prędkości i przyspieszenia od czasu dla wybranych przez Ciebie wartości parametrów: A, k, m i j. Stopień zrozumienia przez Ciebie tych zależności możesz sprawdzić odpowiadając na załączone tam pytania.

MS-Excel Interaktywna ilustracja graficzna  

Kliknij w polu rysunku.

Rys.12.4. Położenie, prędkośc i przyspieszenie w ruchu harmonicznym.