Zasada zachowania momentu pędu

Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego układu punktów materialnych i ciała sztywnego będzie naturalnym rozszerzeniem naszego rozumowania zakończonego wzorem (5.18). 

Kiedy na punktów materialnych działa układ sił zewnętrznych to możemy dla każdego z punktów napisać równania analogiczne do (5.18). Sumując je następnie otrzymujemy

 (5.30)

 Momenty działających  sił i momenty pędu określamy, oczywiście,  względem tego samego punktu. Indeks "zewn" przy wypadkowym momencie siły oznacza, że podobnie jak w przypadku drugiej zasady dynamiki dla układu punktów materialnych, także tutaj uwzględniamy wzajemne znoszenie się momentów sił działających pomiędzy punktami układu. Symbol oznacza wektor całkowitego momentu pędu układu. 

W ten sposób uzyskujemy drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego układu punktów materialnych.

 (5.31)

Kiedy więc wypadkowy moment sił działających na układ równy jest zeru, to pochodna momentu pędu względem czasu równa jest zeru, co oznacza, że moment pędu pozostaje stały.  Układ, na który nie działają siły zewnętrzne (nazywamy go układem zamkniętym) nie doznaje działania momentu sił, możemy więc sformułować zasadę zachowania momentu pędu  w następujący sposób.

Moment pędu układu zamkniętego jest stały

Zwróćmy tu uwagę, że nawet kiedy układ będzie pod działaniem siły zewnętrznej, ale tak działającej,  że jej moment będzie równy zeru, to moment pędu pozostanie stały.

 
Rys.5.6. Moment pędu w ruchu wokół stałej osi. Zapiszmy moment pędu względem punktu dla danego punktu w postaci.

(5.32)
Wektory położenia i prędkości są prostopadłe, wiec w postaci skalarnej zależność tą możemy wyrazić w formie

(5.33)
gdzie  jest odległością danego punktu od osi obrotu. Z relacji geometrycznych pokazanych na rysunku widzimy, że składowa wektora momentu pędu równoległa do osi wynosi

(5.34)
Składowa momentu pędu prostopadła do tej stałej osi  obrotu nie może wywołać ruchu, natomiast składowe równoległe dla wszystkich punktów układu będą się  sumować. (Schematycznie pokazany jest inny punkt .)

Możemy więc napisać 

 (5.35)

gdzie jest momentem bezwładności całego układu względem zadanej osi obrotu. Zauważmy, że składowa ta nie jest zależna od położenia punktu na osi obrotu. Jeśli układ punktów materialnych jest ciałem sztywnym, to nasze rozumowanie pozostaje w mocy. 

Dla układów symetrycznych względem osi obrotu całkowity moment pędu jest równoległy do osi obrotu i zgodny z kierunkiem wektora prędkości kątowej. Mamy wtedy

(5.36)

Zapisaliśmy tę zależność w postaci wektorowej pamiętając, że odnosi się to do przypadków układów symetrycznych względem osi obrotu. Zależność (5.35) dla składowej równoległej do osi obrotu jest słuszna dla dowolnych układów ciał obracających się wokół nieruchomej osi.

Jeśli na układ nie działają siły zewnętrzne, to zgodnie z zasadą zachowania momentu pędu, całkowity moment pędu układu pozostaje niezmieniony. Z drugiej strony, moment pędu układów symetrycznych (lub jego składowa równoległa do osi obrotu układów dowolnych) jest iloczynem momentu bezwładności ciała i jego prędkości kątowej. Jeśli więc zmienia się moment bezwładności ciała (bez wpływu sił zewnętrznych), to musi zmienić się także prędkość kątowa, by moment pędu pozostał niezmieniony. 

Powróćmy do pytań postawionych we wstępie do tej lekcji. Nie dziwi nas, że koło rowerowe wprawione w ruch obrotowy, któremu nadaliśmy określony pod względem wartości i kierunku moment pędu,  może się długo obracać - bo zachowuje się wartość bezwzględna momentu pędu.  Nie dziwi nas też, że rower w ruchu nie przewraca się - bo kierunek wektora momentu pędu jest zachowany. To tu właśnie leży tajemnica piruetów kręconych na lodzie, kiedy łyżwiarz przyciągając do siebie ręce lub podnosząc je do góry zmniejsza wartość , a w konsekwencji zwiększa się jego prędkość kątowa. Wiemy, że helikopter kręciłby się wokół osi pionowej, gdyby nie było dodatkowego śmigła równoważącego moment pędu uzyskany wskutek obrotu śmigła zasadniczego. Rozumiemy dlaczego układ Słoneczny zachowuje swą stabilność przy braku działających z zewnątrz momentów sił.  Pamiętajmy jednak, że planety nie są punktami materialnymi i ich ruch obrotowy wokół własnej osi musi być brany pod uwagę w ogólnym bilansie momentu pędu. Więcej o ruchu ciał pod wpływem sił grawitacji powiemy w lekcji ósmej.