Równanie ruchu obrotowego

Moment siły i moment pędu

Wielkością która dla ruchu obrotowego stanowi odpowiednik siły w ruchu postępowym jest moment siły. Moment siły zdefiniowany jest zawsze względem określonego punktu w przestrzeni, choć w czasie ruchu położenie tego punktu może się zmieniać.

Na rysunku 5.3 pokazany jest schemat geometryczny ilustrujący definicję momentu siły. Oczywiście, płaszczyzna, w której leżą wektory  i może być dowolnie ułożona w przestrzeni. Moment siły przyłożonej w punkcie , określony względem punktu , jest iloczynem wektorowym promienia wodzącego mającego początek w punkcie i siły , . (5.7)  Rys.5.3. Moment siły .

 Na rysunku 5.3 kolorem kremowym zaznaczona jest płaszczyzna wyznaczona przez wektory i . Zgodnie z definicją iloczynu wektorowego, wektor momentu siły jest prostopadły do tej płaszczyzny.  Zwrot tego wektora określony jest przez regułę śruby prawoskrętnej. Bezwzględna wartość momentu siły wynosi

	(5.8)

 

Rys.5.4. Rzut na płaszczyznę wyznaczoną przez wektor siły, i promień wodzący .	Wartość momentu siły możemy wyrazić jako iloczyn siły przez składową promienia wodzącego prostopadłą do linii działania siły.  Składową tą nazywamy ramieniem siły
	.	(5.9)
	Możemy też wydzielić składową siły prostopadłą do promienia wodzącego. Wówczas wartość momentu siły możemy zapisać w postaci
	.	(5.10)

Widać, że  wartość momentu siły określa składowa promienia wodzącego prostopadła do kierunku działania siły lub składowa siły prostopadła do promienia wodzącego. Kiedy kierunek siły pokrywa się z kierunkiem promienia wodzącego moment siły równy jest zeru. Kolorem kremowym na Rysunku 3.3 zaznaczony jest równoległobok oparty na wektorach i .Pole tego równoległoboku równe jest  wartości bezwzględnej momentu siły. Kierunek wektora momentu siły jest w tym przypadku skierowany prostopadle do ekranu, w naszą stronę. 

Składowa siły prostopadła do promienia wodzącego nadaje przyspieszenie zgodne z kierunkiem ruchu punktu, znane nam z lekcji drugiej jako przyspieszenie styczne.  Wykorzystując wzór (5.6b) Możemy więc napisać

Równanie Newtona ruchu obrotowego

Konstrukcje geometryczne nakreślone dla wektora momentu siły, możemy formalnie zastosować i dla wektora momentu pędu wstawiając wektor pędu w miejsce wektora siły, pamiętając oczywiście, że rozważamy  różne wielkości fizyczne.  Moment pędu jest równy zeru, jeśli kierunek pędu pokrywa się z kierunkiem promienia wodzącego. Zauważmy też, że kierunek momentu pędu pokrywa się z kierunkiem prędkości kątowej, jeśli promień wodzący jest prostopadły do osi obrotu. Możemy wtedy wyrazić w prosty sposób związek pomiędzy wartością momentu pędu i prędkością kątową.

Skorzystaliśmy tu z faktu, że jest prędkością ruchu obrotowego punktu  i może być wyrażona przez iloczyn prędkości kątowej i promienia wodzącego, wzór (5.5). Następnie wykorzystaliśmy wprowadzony wzorem (5.12) moment bezwładności. 

Zapiszmy teraz drugą zasadę dynamiki dla wektorów momentu siły i momentu pędu. Pomnóżmy w tym celu obie strony równania (3.2) przez . Otrzymujemy równanie

	(5.15)

 Widzimy, że lewa strona tego równania jest znanym nam już momentem siły. Dla znalezienia znaczenia fizycznego  prawej strony obliczmy pochodną względem czasu momentu pędu.

	(5.16)

Zauważamy natychmiast, że pierwszy człon po prawej stronie tego wzoru równy jest zeru. Wynika to z własności iloczynu wektorowego. Pochodna wektora promienia wodzącego względem czasu, to z definicji wektor prędkości, którego kierunek pokrywa się z kierunkiem pędu ciała, a iloczyn wektorowy dwóch wektorów równoległych jest równy  zeru. 

W rezultacie otrzymujemy.

	(5.17)

Podstawiając ten związek do równania (5.15) i pamiętając w dalszym ciągu, że lewa strona równania (5.15) jest momentem siły (5.7),  mamy 

(5.18) Wyraziliśmy w ten sposób druga zasadę dynamiki poprzez związek pomiędzy momentem siły i pochodna momentu pędu względem czasu. Związek ten jest zwany drugą zasadą dynamiki ruchu obrotowego. Zwróćmy uwagę, że równanie (5.18) będzie słuszne tylko w układzie inercjalnym, bowiem korzystaliśmy przy jego wyprowadzeniu z drugiej zasady dynamiki; nie będzie natomiast słuszny w układzie obracającym się.