Prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe

Ruch obrotowy wygodnie jest rozpatrywać w układzie cylindrycznym przyjmując, że oś jest osią obrotu a ruch odbywa się w płaszczyźnie . Ruch płaski rozpatrywaliśmy już w lekcji drugiej stosując biegunowy układ współrzędnych i rozkładając wektor prędkości na składowe: radialną i transwersalną, wzór (2.22). Kiedy mamy do czynienia wyłącznie z ruchem obrotowym,  to prędkość radialna równa jest zeru i wektor prędkości punktu materialnego może być zapisany w postaci

. (5.1)
Skorzystaliśmy tu z relacji pomiędzy wersorami w układzie współrzędnych cylindrycznych (Rys.2.3.) i przemienności mnożenia wektora przez wielkości skalarne. W prawej części wzoru wprowadziliśmy wielkości

 

(5.2)
Pierwsza z nich, to wektor prędkości kątowej skierowany wzdłuż osi obrotu, druga jest wektorem promienia wodzącego skierowanym od osi obrotu do poruszającego się punktu. Tak zdefiniowany wektor wodzący jest prostopadły do osi obrotu.
 Zwróćmy uwagę, że wartość wektora prędkości kątowej równa jest pochodnej przemieszczenia kątowego względem czasu, zaś jego kierunek pokrywa się z osią obrotu. Zwrot wektora zgodny jest z regułą śruby prawoskrętnej. Przy zmianie kierunku ruchu obrotowego zwrot tego wektora zmieni się na przeciwny. Jeżeli  prędkość kątowa zachowuje stałą wartość, to w ruchu tym możemy wyrazić moduł prędkości kątowej jako gdzie jest kątem obrotu wykonanym w czasie . 

Jednostką prędkości kątowej jest radian na sekundę.
Rys. 5.2. Określenie wektora  prędkości kątowej .

Ruch obrotowy ze stałą prędkością kątową opisuje się także podając czas, w którym poruszające się ciało wykonuje jeden pełny obrót, czyli kiedy kąt obrotu wynosi . Czas ten, oznaczany zwykle jako , nosi nazwę okresu w ruchu obrotowym. Liczbę obrotów wykonanych przez ciało w czasie jednej sekundy, czyli odwrotność okresu, nazywa się częstotliwością i oznacza zwykle jako lub . Zapiszmy relacje pomiędzy tymi wielkościami.
(5.3)
Jednostką okresu jest sekunda, jednostką częstotliwości jest jeden herc (Hz); jego wymiarem jest odwrotność sekundy.

Kiedy prędkość kątowa zmienia się w czasie mówimy o ruchu obrotowym przyspieszonym. Przyspieszenie kątowe,, które charakteryzuje zmianę prędkości kątowej w czasie, określamy jako pochodną prędkości kątowej względem czasu, czyli drugą pochodną  przemieszczenia kątowego względem czasu
(5.4)

gdzie . Kierunek wektora przyspieszenia kątowego określony jest więc przez kierunek zmiany prędkości kątowej. 

Wartości prędkości i przyspieszenia kątowego wiążą się z wartościami składowych prędkości i przyspieszenia, które określiliśmy w lekcji drugiej. Wykorzystując wzór (2.22) i przyjmując, że prędkość radialna równa jest zeru mamy
(5.5)

 Prędkość kątowa wiąże się ze składową normalną wektora przyspieszenia. Wykorzystując wzory (2.36) oraz (5.5) otrzymujemy
(5.6a)

gdzie promień krzywizny toru we wzorze (2.36) odpowiada wartości bezwzględnej określonego wzorem (5.2) wektora  .

Wartość przyspieszenia kątowego wiąże się ze składową styczną wektora przyspieszenia, wzór (2.36), zależnością

.

 (5.6b)

przyjmujemy bowiem, że wartość nie zmienia się w czasie.