Praca i moc

Praca

Praca stałej siły

przy przemieszczeniu ciała o odcinek

określona jest jako iloczyn skalarny

(4.1)

gdzie a jest kątem pomiędzy kierunkiem działania siły, a kierunkiem przemieszczenia. Kiedy kąt ten jest kątem ostrym, praca ma wartość dodatnią, kiedy rozwartym - ujemną; kiedy wynosi 90⁰, praca wynosi zero. Siła, której kierunek jest przeciwny do kierunku ruchu wykonuje pracę ujemną.

Rys.4.1. Siła, przemieszczenie i praca.

Zauważamy, że praca wykonywana jest jedynie przez składową siły równoległą do kierunku ruchu. Składowa prostopadła żadnej pracy nie wykonuje. Pamiętajmy o tym przy przesuwaniu ciężkich przedmiotów.

Zakładaliśmy tu, że siła pozostaje stała przy przemieszczeniu ciała o odcinek . W ogólnym przypadku siła nie musi mieć stałego kierunku ani wartości. Kierunek ruchu ciała też może się zmieniać.

Rozpatrzmy ogólniejszy przypadek zilustrowany na Rys.4.2. Wektor siły, oznaczony kolorem czerwonym, jest funkcją położenia ciała na torze. Kolorem niebieskim oznaczone są elementarne przemieszczenia dla których przyjmujemy, że siła pozostaje stała. Praca elementarna na takim odcinku toru wynosi

(4.2)

Pracę na torze pomiędzy punktami A i B możemy wyznaczyć przez sumowanie elementarnych przyczynków na odcinkach toru o długościach dążących do zera. Zauważmy przy tym, że te elementarne przyczynki pracy równe są iloczynom składowej siły stycznej do toru w danym punkcie przez wartość elementarnego przemieszczenia.

Rys.4.2. Siły i elementarne przesunięcia na torze AB.

Sumowanie to sprowadza się do wyznaczenia wartości całki

	(4.3)

Za jednostkę pracy przyjmuje się pracę jednostkowej siły przy przesunięciu równym jednostce długości i kącie pomiędzy wektorami siły i przesunięcia równym zeru. Jednostką pracy w układzie SI jest jeden dżul (

)

Kiedy na ciało działa równocześnie kilka sił, to wypadkowa siła jest ich sumą wektorową. Praca elementarna na odcinku toru może być dla takiego przypadku zapisana w postaci

.	(4.4)

gdzie skorzystaliśmy z faktu, że iloczyn skalarny wektorów jest rozdzielny względem dodawania. Widzimy, że praca kilku sił jest algebraiczną sumą prac wykonanych przez każdą z sił oddzielnie.

Pamiętając z kolei, że przemieszczenie może być zamienione iloczynem , gdzie jest wektorem prędkości chwilowej, możemy pracę wykonaną w przedziale czasu od do wyrazić jako

.	(4.5)

Moc

Szybkość wykonywania pracy przez daną siłę charakteryzuje moc, którą wyrażamy jako stosunek pracy do przedziału czasu , w którym praca ta została wykonana.

.	(4.6)

Wzór (4.6) pokazuje, że moc wyrazić można także jako iloczyn skalarny wektora siły i wektora prędkości ciała, do którego siła ta jest przyłożona.

Jednostką mocy jest taka moc, kiedy jednostkowa praca wykonana jest w jednostce czasu. Jednostką mocy w układzie SI jest jeden wat ().