Przekrój czynny

W poprzednim wykładzie omówiliśmy podstawowe przemiany jądrowe: alfa, beta i gamma, w wyniku których emitowane są cząstki alfa, elektrony bądź pozytony oraz kwanty promieniowania elektromagnetycznego, zwane fotonami.  W reakcjach rozszczepienia emitowane są także neutrony, a w zderzeniach jądrowych wielkich energii emitowane są różnorodne cząstki wyprodukowane w procesie zderzenia, głównie mezony . 

Cząstki te poruszając się w ośrodku materialnym wywołują szereg procesów, które zarówno powodują określone zmiany w ośrodku jak i wpływają na dalszy ruch cząstek. Wiemy już, że rozmiary cząstek mikroświata są  dziesiątki tysięcy i więcej razy mniejsze od rozmiarów atomów. Wiemy jednak, że nie należy ich rozpatrywać jak "kuleczki bilardowe", bowiem w oddziaływaniach przejawiają one swe własności korpuskularno-falowe, zaś różne typy cząstek oddziaływają z ośrodkiem w różny sposób. 

Na początek sformułujemy podstawowe pojęcia, które będziemy stosować przy opisie oddziaływania cząstek z materią, a potem oddzielnie omówimy specyfikę oddziaływania różnych klas cząstek z ośrodkiem materialnym.  

Rysunek 6.1.1. pokazuje schematycznie wiązkę n cząstek padających na cienką warstwę materiału o grubości dx. W materiale następuje rozpraszanie cząstek na centrach rozpraszających, np. atomach,  których gęstość opiszemy podając liczbę centrów w jednostce objętości N, np. w jednym cm3. W wyniku rozpraszania część dn cząstek zostaje z wiązki usunięta tak, że po przejściu przez warstwę materiału w wiązce pozostaje n-dn cząstek.
Rysunek 6.1.1. Wiązka n cząstek pada na warstwę materiału o grubości dx. Wskutek oddziaływania  liczba dn cząstek zostaje z wiązki usunięta.

 Nie wchodząc w szczegóły procesu oddziaływania możemy powiedzieć, że liczba usuniętych z wiązki cząstek będzie proporcjonalna do grubości warstwy materiału i do samej liczb padających cząstek. Będzie też proporcjonalna do gęstości centrów rozpraszających. Zapiszmy te zależności w postaci prostej proporcji 

(6.1.1)

Współczynnik proporcjonalności , który wyrażony musi być w jednostkach powierzchni (sprawdź to), np. w cm2, nosi nazwę przekroju czynnego. Oczywiście, biorąc pod uwagę, że liczba centrów rozpraszających w jednostce objętości jest ogromna, w pomiarach przekrojów czynnych używa się innej jednostki, o wiele mniejszej niż 1cm2.  Stosowaną powszechnie jednostką przekroju czynnego jest barn ( 1barn=10-24cm2 ). Intuicyjnie, przekrój czynny to taka powierzchnia każdego z centrów rozpraszania, że trafiająca na nią cząstka doznaje z tym centrum oddziaływania. Pamiętając uwagę powyżej, nie należy bynajmniej utożsamiać tej powierzchni z rozmiarami jąder czy atomów. Będziemy do tego zagadnienia jeszcze powracać.

Oczywiście zauważamy, że wyrażenie (6.1.1) nie może opisać procesu osłabienia wiązki przy przechodzeniu przez warstwę materiału o skończonej grubości. W miarę zagłębiania się wiązki w materiał liczba cząstek będzie się zmniejszać i nie będzie już równa liczbie cząstek padających na materiał z zewnątrz. Wyrażenie (6.1.1) opisuje więc zmniejszenie się intensywności wiązki przy przejściu przez elementarną warstwę, zaś całkowite osłabienie wiązki otrzymamy przez sumowanie (całkowanie) elementarnych osłabień danych wzorem (6.1.1).  Zapisując to wyrażenie nieco inaczej

, (6.1.2)

otrzymujemy równanie różniczkowe o rozdzielonych zmiennych, którego prawa strona jest różniczką logarytmu n. Mamy więc

(6.1.3)

Stałą całkowania nietrudno znaleźć oznaczając liczbę cząstek padających z zewnątrz na materiał przez N0. Dla x=0 mamy N0=C, co pozwala nam zapisać wzór na osłabienie wiązki przy przechodzeniu przez warstwę materiału o grubości x

. (6.1.4)

Jest to niezwykle ważne prawo opisujące osłabienie wiązki promieniowania przechodzącej przez ośrodek materialny, kiedy oddziaływanie z centrami rozpraszającymi powoduje usuniecie cząstek z wiązki. Pamiętamy, że n jest liczbą cząstek, które pozostały w wiązce po przejściu przez warstwę materiału, a n0 jest liczbą cząstek padających. Różnica 

(6.1.5)

jest liczbą cząstek usuniętych z wiązki. Wprowadzając oznaczenie możemy zapisać wzór (6.1.4) w postaci

. (6.1.6)

gdzie nazywamy liniowym współczynnikiem osłabienia wiązki, którego wymiar wyrażany jest np. w cm-1. 

W fizyce i technice pomiarów jądrowych często wyraża się grubość materiałów w jednostkach zwanych gęstością powierzchniową, d określoną jako grubość materiału x pomnożoną przez jego gęstość . Mamy wiec: , a wyrażając grubość w cm i gęstość w g/cm3, wyrazimy gęstość powierzchniową w g/cm2. Chociaż taki sposób wyrażania grubości wydaje się początkowo nieco sztuczny, ale jest bardzo użyteczny przy porównywaniu grubości materiałów o różniących się znacznie gęstościach, np. powietrza i ołowiu. Przy wyrażaniu grubości materiału poprzez ich gęstość powierzchniowa, stosujemy nieco inaczej zdefiniowany współczynnik osłabienia wiązki, zwany masowym współczynnikom osłabienia 

(6.1.7)

gdzie  mA jest masą cząstek materiału ośrodka. Zgodnie z tą definicją, wymiar masowego współczynnika osłabienia jest odwrotnością wymiaru gęstości powierzchniowej, tj. cm2/g. Prawo osłabienia wiązki z użyciem masowego współczynnika osłabienia zapisujemy zamieniając we wzorze (6.1.6) wyrażenie wyrażeniem .

Wielkością charakteryzującą również osłabienie wiązki w materiałach jest średnia droga swobodna, . W zależności od sposobu zdefiniowania współczynnika osłabienia wiązki, średnia droga swobodna wyrażana może być w cm lub w g /cm2, a prawo osłabienia z użyciem średniej drogi swobodnej określamy zamieniając np. wyrażenie we wzorze (6.1.6) wyrażeniem , gdzie wyrażone jest w cm. Zauważmy, że kiedy grubość warstwy materiału równa jest wartości średniej drogi swobodnej, to liczba cząstek przechodzących przez tę warstwę w stosunku do liczby cząstek padających będzie

(6.1.8)

Inaczej mówiąc, prawdopodobieństwo przejścia przez cząstkę drogi równej średniej drodze swobodnej wynosi około 1/3, co warto zapamiętać.

Często interesuje nas bardziej precyzyjna informacja. Nie chodzi tylko o to czy cząstka została wyeliminowana z wiązki, ale co się z nią stało. 

Wyeliminowaniem z wiązki jest absorpcja cząstki lub jej rozproszenie o dany kąt zwany kątem rozproszenia lub kątem zenitalnym Rozproszona cząstka może być zarejestrowana przez detektor ustawiony na jej drodze, może też ulegać dalszym rozproszeniom. 

Ilustruje to rysunek 6.1.2 . Padająca z lewej strony wiązka ulega częściowemu pochłonięciu w tarczy. Cząstki rozproszone pod danym kątem rozproszenia oraz pod określonym kątem w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku wiązki, zwanym kątem azymutalnym , są rejestrowane przez umieszczony na ich drodze detektor.
Rys. 6.1.2. Rozproszenie cząstki i różniczkowy przekrój czynny

Dla opisania prawdopodobieństwa rozproszenia cząstek  w określony element przestrzeni wprowadza się pojęcie tzw. różniczkowego przekroju czynnego zdefiniowanego jako

(6.1.8)

gdzie jest przekrojem czynnym wyrażającym prawdopodobieństwo rozproszenia cząstki w jednostkowy element kąta bryłowego i wyrażanym w barnach na steradian, zaś jest elementarnym kątem bryłowym wokół kierunku określonego przez kąty i  . (Kąt bryłowy to część przestrzeni o formie stożkowej i wierzchołku w danym punkcie wycinająca na powierzchni kuli o promieniu R daną powierzchnię dS. Miarą kąta bryłowego jest stosunek dS/R2, zaś jednostką jest steradian. Jest to taki kąt bryłowy, przy którym pole wyciętej powierzchni równe jest R2. Pełny kąt bryłowy równy jest steradianów.) Całkowity przekrój czynny otrzymujemy przez obliczenie całki po pełnym kącie bryłowym

. (6.1.8)