Przypominamy - kiedy przy kilkakrotnym wykonywaniu pomiaru uzyskujemy różne wyniki, istotny jest udział niepewności przypadkowych.

 Weźmy jeszcze raz jako przykład - pomiar napięcia w obwodzie elektrycznym. Gdy użyjemy precyzyjnego woltomierza cyfrowego może się okazać, że  w rezultacie każdego pomiaru uzyskujemy inną wartość. W tym przypadku woltomierz cyfrowy odnotowuje nawet bardzo małe, przypadkowe zmiany napięcia. Rozpatrzymy ten przypadek bardziej szczegółowo.

Charakterystyczną cechą niepewności przypadkowych jest to, że na końcową niepewność pojedynczego pomiaru składa się suma wielu małych, niezależnych przyczynków, tzw. błędów elementarnych. To właśnie sprawia, przy kilkakrotnym wykonywaniu pomiarów tej samej wielkości uzyskuje się różne wyniki. Wyniki te grupują się wokół wartości prawdziwej, zaś ich rozrzut może być miarą dokładności pomiaru. Samej wartości prawdziwej nie poznamy, (często wartość taka jest nawet trudna do zdefiniowania) możemy jednak uzyskać w wyniku pomiaru wartość przybliżoną, oraz statystyczną ocenę jej dokładności. 

Wykonajmy modelowanie komputerowe kilku serii pomiarów danej wielkości i rozważmy charakterystyczne cechy tego procesu. 

Rozkład wyników pomiarów w serii ma formę podobną do dzwonu. Kształt tego rozkładu może być zapisany w postaci tzw. rozkładu normalnego, zwanego też rozkładem Gaussa. 

rozkład normalny (Gaussa)

(1.2.1)

Z postaci wzoru (1.2.1) widzimy, że kształt tego rozkładu określony jest przez wartości dwóch parametrów:  wartości przeciętnej oraz odchylenia standardowego . Pierwszy z nich określa położenie maksimum krzywej, drugi charakteryzuje "szerokość" rozkładu. W obszarze wokół wartości ograniczonym wartościami zawiera się ok. 68% wszystkich wartości x. Przykładowe kształty rozkładów Gaussa, uzyskane za pomocą programu EXCEL, przedstawione są poniżej. 

Rozkład normalny ma ogromne znaczenie w wielu działach nie tylko fizyki lecz ogólnie - nauki i techniki, dlatego warto poznać bliżej jego własności. Nieco więcej informacji o rozkładzie Gaussa podajemy w załączonym uzupełnieniu ; można też znaleźć w pozycjach 6-8 podanej bibliografii. Charakterystyczne cechy rozkładu Gaussa można też poznać korzystając z załączonej poniżej interaktywnej ilustracji graficznej prezentującej zarówno postać rozkładu gęstości prawdopodobieństwa  jak i dystrybuanty rozkładu Gaussa dla wybranych wartości parametrów oraz . 

Przeczytaj podane tam objaśnienia i odpowiedz na  pytania załączone w arkuszu trzecim. 

MS-Excel	Interaktywna ilustracja graficzna	Kliknij w polu rysunku.
Rys.1.2. Rozkład normalny (Gaussa) dla a=0 oraz sigma=0.5.

Rozkład wyników pomiarów wokół wartości średniej jest właśnie praktycznym przykładem zastosowania rozkładu normalnego. Jeśli obliczymy średnią arytmetyczną z serii wykonanych pomiarów

wartość średnia

(1.2.2)

a następnie obliczymy wartość wyrażenia

niepewność  pojedynczego pomiaru

(1.2.3)

to uzyskamy przybliżoną wartość (estymator) drugiego z parametrów rozkładu normalnego, . Wartość ta, zwana średnią niepewnością kwadratową pojedynczego pomiaru, charakteryzuje rozrzut wyników pomiarów wokół wartości średniej, którą z kolei możemy traktować jako estymator wartości przeciętnej w rozkładzie normalnym. Ocenę niepewności wartości średniej możemy wyznaczyć z zależności

niepewność wartości średniej

(1.2.4)

Zwróćmy uwagę, że tak wyznaczone oceny dokładności nie są niepewnościami maksymalnymi, bowiem, zgodnie z własnościami rozkładu normalnego tylko około 68% wyników pomiarów mieści w ich granicach.

Kiedy chcemy ocenić dokładność wyznaczenia wielkości będącej funkcją wyników pomiarów obarczonych niepewnościami przypadkowymi, korzystamy  ze wzoru 

Wzór ten zapisaliśmy dla dwóch zmiennych niezależnych: , ale w naturalny sposób można go uogólnić na większa liczbę zmiennych.