5. Przyspieszenie

Zdefiniowaliśmy prędkość jako granicę stosunku przyrostu wektora położenia do przedziału czasu w którym ten przyrost nastąpił. Podobnie, granicę stosunku przyrostu wektora prędkości do czasu, w którym ten przyrost nastąpił nazywamy przyspieszeniem chwilowym lub krótko - przyspieszeniem. 

 

Przyspieszenie jest pochodną wektora prędkości względem czasu, a co za tym idzie - drugą pochodną względem czasu wektora położenia. W układzie współrzędnych prostokątnych zapiszemy to w następujący sposób.
(2.28)

Zmiana wektora prędkości może dotyczyć zarówno bezwzględnej wartości jak i kierunku. Pamiętając, że wektor prędkości jest zawsze styczny do toru poruszającego się ciała możemy wydzielić jego wartość bezwzględną oraz jego kierunek w postaci zapisu
(2.29)
gdzie   jest wartością bezwzględną prędkości, a jest  wersorem stycznym do toru w danym punkcie. Wektor przyspieszenia możemy więc zapisać w formie
(2.30)

Jednostką przyspieszenia w układzie SI jest przyspieszenie ciała poruszającego się ruchem jednostajnym, którego prędkość w ciągu jednostki czasu (sekundy) przyrasta o jednostkę prędkości (metr na sekundę). Jednostkę przyspieszenia zapisujemy w postaci 1 m/s2 .

Pierwszy składnik w prawej części wzoru (2.30) , to składowa przyspieszenia styczna do toru. Składowa ta jest tym większa im większa jest zmiana bezwzględnej wartości prędkości w czasie. Drugi składnik odpowiedzialny jest za zmianę  kierunku wektora prędkości. Jest on tym większy im większa jest prędkość ciała i im szybciej zmienia ono kierunek swego ruchu. Miarą zmiany kierunku ruchu ciała jest krzywizna jego toru wyrażana zwykle poprzez promień krzywizny, który określany jest jako promień okręgu stycznego do toru na małym odcinku w pobliżu danego punktu. Jeżeli długość tego odcinka zdąża do zera, mówimy o promieniu krzywizny w danym punkcie toru. Promień ten jest stały dla ruchu po okręgu i jest nieskończony dla ruchu po prostej.

Składowe przyspieszenia: normalna i styczna (*)

 Na rysunku obok przedstawiony jest kolorem niebieskim przykładowy tor samolotu wykonującego ewolucje w powietrzu. Dla kilku punktów na torze zaznaczone są kolorem różowym promienie krzywizny i odpowiadające im okręgi. Kolorem czerwonym zaznaczone są wersory prędkości dla dwóch bliskich punktów na torze. Kolorem zielonym pokazany jest wektor różnicy tych  wersorów. Kiedy odległość pomiędzy punktami na torze zdąża do zera, kierunek tego wektora staje się prostopadły do toru a jego długość wyrazić można za pomocą kąta dj.
Rys. 2.8. Przykładowy tor samolotu z zaznaczanymi w kilku punktach promieniami krzywizny.
 Wydzielony schemat na rysunku przedstawia kierunki wersorów  dla dwóch punktów na torze oraz ich różnicę.
(2.31)
gdzie wersor   jest prostopadły do toru, i pokrywa się z promieniem krzywizny toru w punkcie P. Promień krzywizny toru łączy się z kątem dj i odpowiadającą mu długością toru, czyli przebytą drogą ds, zależnością  wynikającą, podobnie jak i w przypadku wzoru (2.20),  z definicji kąta w mierze łukowej
(2.32)
Z kolei, przebyta droga, to iloczyn prędkości i czasu, czyli
, (2.33)
Biorąc te zależności pod uwagę możemy zapisać pochodną wersora  po czasie w postaci
, (2.34)
gdzie jest wersorem skierowanym do środka okręgu. Podstawiając znalezioną postać pochodnej wersora po czasie możemy zapisać wzór (29) w postaci
, (2.35)
 

W ten sposób przedstawiliśmy przyspieszenie w postaci dwóch prostopadłych do siebie składowych, których wartości bezwzględne wynoszą

, (2.36)
Pierwsza skierowana zawsze zgodnie z aktualnym kierunkiem wektora prędkości, czyli styczna do toru w danym punkcie, nosi nazwę składowej stycznej , druga - skierowana do środka okręgu określającego aktualny promień krzywizny toru nosi nazwę składowej normalnej przyspieszenia i nazywana jest też przyspieszeniem dośrodkowym. Zauważmy, że ciało porusza się ruchem przyspieszonym także wtedy, kiedy bezwzględna wartość jego prędkości nie zmienia się, ale kiedy porusza się ruchem krzywoliniowym. Szczególnym przypadkiem takiego ruchu jest ruch po okręgu.