Pochodna funkcji |
Pochodna funkcji określona jest jako granica stosunku przyrostu funkcji do odpowiadającego mu przyrostu zmiennej niezależnej , gdy przyrost dąży do zera.
(1) |
Pochodna funkcji jest także funkcją i oznaczana jest symbolami: lub lub . (Oczywiście zauważamy, że w tym przypadku litera nie jest zmienną, tylko symbolicznym oznaczeniem; zapis czytamy "de y po de x").
Rys 1. Geometryczna interpretacja pochodnej.
Wartość pochodnej funkcji w danym punkcie, równa jest tangensowi
kąta pomiędzy osią X, a styczną do krzywej
w punkcie o współrzędnych (x,y). Kąt ten liczy się
od dodatniej półosi X w kierunku przeciwnym ruchowi wskazówek
zegara.
Funkcja pokazana jest krzywą koloru niebieskiego; styczna pokazana jest kolorem czerwonym. |
Różniczka zmiennej niezależnej - to przyrost tej funkcji tj. . (Przyrost ten może mieć dowolną wartość dodatnią lub ujemną).
Różniczka funkcji w danym punkcie - to iloczyn pochodnej pomnożonej przez różniczkę zmiennej niezależnej
(2) |
Pochodna cząstkowa funkcji wielu zmiennych względem jednej ze zmiennych, np. określona jest wzorem
. |
(2) |
Przyrost dotyczy tu tylko jednej ze zmiennych niezależnych, zaś pozostałe zmienne są w tym przypadku stałe. Pochodne cząstkowe oblicza się zgodnie z regułami obliczania pochodnych jednej zmiennej, traktując pozostałe zmienne jak stałe. (Zauważmy, że w przypadku pochodnych cząstkowych używamy innego symbolu oznaczenia pochodnej pisząc .)
Obliczanie pochodnych funkcji nazywamy różniczkowaniem.
Kilka przykładów pochodnych funkcji elementarnych | ||||
Funkcja | Pochodna funkcji | Funkcja | Pochodna funkcji | |
(Uwaga: Przez oznaczamy funkcje zmiennej )
1. | Pochodna (lub różniczka) algebraicznej sumy funkcji równa jest algebraicznej sumie pochodnych tych funkcji liczonych dla każdej funkcji oddzielnie, tj. |
Wzór: |
, |
Przykład: | |
2. | Pochodna (lub różniczka) iloczynu funkcji równa jest takiej sumie iloczynów, że w każdym jej składniku jeden z czynników zastępowany jest swą pochodną. Dla iloczynu dwóch funkcji mamy: |
Wzór: | |
Przykład: | |
3. |
Stały czynnik ( c ) można wynieść przed znak pochodnej (lub różniczki) |
Wzór: | |
Przykład: | |
4. |
Pochodna (lub różniczka) ilorazu funkcji: |
Wzór: | |
Przykład: | |
5. |
Pochodna funkcji złożonej, tj. gdy , a : |
Wzór: | |
Przykład: | |
5. |
Pochodna cząstkowa funkcji wielu zmiennych tj. gdy |
Wzór: |
Stosujemy te same wzory jak dla jednej zmiennej traktując wszystkie zmienne po których pochodna nie jest obliczana jako stałe. |
Przykład: |
Objętość walca jest funkcją dwóch zmiennych: promienia i wysokości . Mamy więc zależność . Obliczmy pochodną objętości walca względem promienia i względem wysokości. Jaka treść zawarta jest w tych postaciach pochodnych cząstkowych? |
Wykonaj teraz test, który pozwoli Ci zrozumieć pojęcie prędkości chwilowej ciała, jako pochodnej położenia względem czasu oraz przyspieszenia, jako pochodnej prędkości względem czasu. | |
Niebieska krzywa pokazuje zależność położenia od czasu
samochodu, który porusza się na prostoliniowym odcinku szosy. Na
trasie samochodu zaznaczono szereg punktów oznaczonych literami: a,
b, c, d, e.
Odpowiedz:
|