KADD laboratorium 7 - Revision history

Majanik at 10:07, 11 April 2012

2012-04-11T10:07:46Z

← Older revision		Revision as of 10:07, 11 April 2012
Line 39:		Line 39:
	== Wynik ==		== Wynik ==
	''Część pierwsza''		''Część pierwsza''
		+
	[[File:Lab07_dist.png]]		[[File:Lab07_dist.png]]
-

	Output:		Output:
Line 46:		Line 46:

	''Części druga i trzecia''		''Części druga i trzecia''
-	~~[[File:lab07_kolo2.png]]~~

		+	[[File:lab07_kolo2.png]]

	Output:		Output:

Majanik: /* Wynik */

2012-04-11T10:07:26Z

Wynik

← Older revision		Revision as of 10:07, 11 April 2012
Line 39:		Line 39:
	== Wynik ==		== Wynik ==
	''Część pierwsza''		''Część pierwsza''
		+	[[File:Lab07_dist.png]]

-	~~[[File:lab07_kolo2.png]]~~

	Output:		Output:
Line 46:		Line 46:

	''Części druga i trzecia''		''Części druga i trzecia''
		+	[[File:lab07_kolo2.png]]

-	~~[[File:Lab07_dist.png]]~~

	Output:		Output:

Majanik at 07:58, 11 April 2012

2012-04-11T07:58:46Z

← Older revision		Revision as of 07:58, 11 April 2012
Line 1:		Line 1:
-	{\| align="right"	+	{\| align="right"
-	\| __TOC__	+	\| __TOC__
-	\|}	+	\|}


	== Zadanie ==		== Zadanie ==
		+	''Część pierwsza'': '''obliczanie liczby Pi''' (1 pkt.)

-	'''~~Metody~~ Monte Carlo'''	+	Należy napisać '''funkcję''', która oblicza liczbę Pi '''metodą von Neumanna''' (jest sztandarowy przykład wykorzystania metody typu '''Monte Carlo'''). W tym celu losujemy z rozkładu jednorodnego na przedziale [0,1] dwie liczby x i y, i sprawdzamy, czy wylosowana para mieści się wewnątrz koła o promieniu 1. Następnie używając stosunku par zaakceptowanych (mieszczących się wewnątrz) do odrzuconych (tych, które leżą poza okręgiem) oraz wzoru na pole koła, należy obliczyć liczbę Pi. Ponadto, należy narysować wykres trafień leżących wewnątrz oraz na zewnątrz koła:
		+	* stworzyć dwa obiekty typu <code>TGraph</code> i jeden z nich wypełniać zaakceptowanymi parami (x,y), drugi zaś odrzuconymi. Oba wykresy narysować na jednym panelu,
		+	* dodatkowo można stworzyć obiekt <code>TH1D</code> i wypełnić go zaakceptowanymi wartościami x. Będzie dany rozkładem wyznaczonym ze wzoru na pole koła.

-	~~Należy napisać~~ ''~~funkcję~~'' ~~która oblicza liczbę Pi Metodą Monte Carlo. W tym celu losujemy dwie liczby~~ z rozkładu ~~jednorodnego [0,1], x~~ i ~~y, i sprawdzamy, czy wylosowana para mieści się wewnątrz koła o promieniu 1. Następnie używając stosunku par zaakceptowanych~~ (~~mieszczących się wewnątrz) do odrzuconych (tych, które leżą poza okręgiem) oraz wzoru na pole koła należy obliczyć liczbę Pi~~. ~~Ponadto należy narysować dwa wykresy.~~	+	''Część druga'': '''generowanie liczb pseudolosowych z dowolnego rozkładu metodą akceptacji i odrzucania von Neumanna''' (3 pkt.)
-	* Liczbami zaakceptowanymi (x) ~~należy wypełnić histogram <code>TH1D</code> oraz go narysować.~~	+
-	* Stworzyć dwa obiekty typu <code>TGraph</code> i jeden z nich wypełniać zaakceptowanymi parami (x,y) a drugi odrzuconymi parami. Przydzielić im dwa różne kolory punktów. Następnie należy narysować oba te obiekty na jednym panelu.	+

		+	Wykorzystana tydzień temu metoda transformacji rozkładu jednorodnego z wykorzystaniem funkcji odwrotnej do dystrybuanty ma ograniczone zastosowanie. Jej zastosowanie jest możliwe tylko wtedy, gdy znana jest jawna postać dystrybuanty oraz można znaleźć funkcję do niej odwrotną. '''Metoda von Neumanna''' pozwala wygenerowanie liczb pseudolosowych, gdy znany jest tylko rozkład g(y). W ogólności metoda działa nawet wtedy, gdy funkcja g(y) ''nie jest'' rozkładem gęstości prawdopodobieństwa (całka z niej nie wynosi 1). Pozwala to na bardzo szerokie wykorzystanie metody von Neumanna - przede wszystkim do obliczania całek oznaczonych ze skomplikowanych funkcji, gdy ich analityczne scałkowanie jest niemożliwe. Metody tego typu noszą nazwę wspomnianych wcześniej '''metod Monte Carlo'''.

-	'''~~Metoda~~ akceptacji i odrzucania von ~~Neumana'''~~	+	Należy stworzyć trzy '''bardzo podobne''' funkcje przyjmujące obiekt typu <code>TF1</code>. Powinny one przyjmować funkcję g na przedziale [min,max]:
		+	* <code>double losujVonNeumann(TF1 *g, double min, double max)</code> - funkcja zwraca ''jedną'' liczbę pseudolosową z funkcji g(y),
		+	* <code>double wydajnoscVonNeumann(TF1 *g, double min, double max, int n)</code> - funkcja zwraca wydajność metody akceptacji i odrzucania von Neumanna dla danej funkcji g(y) oraz zadanej liczby losowań n,
		+	* <code>double calkaVonNeumann(TF1 *g, double min, double max, int n)</code> - funkcja zwraca całkę oznaczoną (pole powierzchni pod krzywą) z funkcji g(y) na przedzialne [min,max] przy liczbie losowań n.

-	~~Standardowa~~ metoda ~~generacji liczb losowych przez funkcję odwrotną~~	+	''Część trzecia:'' '''metoda akceptacji i odrzucania von Neumanna z funkcją pomocniczą''' (1 pkt.)
-	~~ma ograniczone zastosowanie. Można jej uzywać tylko w przypadku,~~	+
-	~~gdy dystrybuanta jest znana~~ i ~~możliwe jest znalezienie jej funkcji~~	+
-	~~odwrotnej~~.	+

-	~~Gdy znana jest tylko gęstość prawdopodobieństwa~~ <code>g(y)</code> ~~stosujemy metodę von Neumanna~~.	+	W celu zwiększenia wydajności metody von Neumanna, można posłużyć się ograniczeniem przedziału losowania w postacji zadanej funkcji pomocniczej. W tej części zaimplementować funkcję, która oblicza całkę z funkcji g(y) metodą akceptacji i odrzucania von Neumanna z funkcją pomocniczą s(y):
		+	* <code>double calkaVonNeumannZPomoc(TF1 g, TF1 s, double min, double max, int n, double &wydajnosc)</code> - zwraca całkę na przedziale [min,max] oraz dla zadanej liczby losowań n. Ponadto, funkcja powinna zwrócić '''przez referencję''' (ponieważ w języku C/C++ funkcja nie może zwrócić dwóch wartości) wydajność tej metody.

-	* Należy zaimplementować funkcję, ~~która generuje liczby losowe~~ z ~~dowolnego~~ rozkładu ~~reprezentowanego przez obiekt TF1~~.	+	Funkcję s(y) dobieramy tak, by '''zawsze''' znajdowała się powyżej funkcji g(y) i można z niej było łatwo wygenerować liczbę pseudolosową (na przykład metodą transformacji rozkładu jednorodnego z wykorzystaniem odwrotności dystrybuanty; na wykładzie przykład z funkcją liniową).
-	~~Losowanie należy wykonać za pomocą metody akceptacji i odrzucania. Funkcja powinna losować punkt z rozkladu reprezentowanego przez obiekt f, w granicach od min do max:~~	+

-	~~<code> double losujVonNeuman(TF1 *f, int min, int max);</code>~~	+	Wszystkie obliczenia należy wykonać dla funkcji typu:
		+	[[File:Lab07_funkcja2.png]]

-	* ~~Należy zaimplementować funkcję, która oblicza wydajność metody von neumanna dla zadanej funkcji f, w granicach od min do max, dla losowej próbki n punktów.~~	+	== Uwagi ==
		+	* Funkcja kwadratowa i jej odwrotność:

-	~~<code> double wydajnoscVonNeuman(TF1~~ *~~f, int min, int max, int n);<~~/~~code>~~	+	[[File:Odwracanie_kwadratowej.png]]
		+	* [http://pl.wikipedia.org/wiki/Metoda_Monte_Carlo Metoda Monte Carlo] - Wikipedia.
		+	* [http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/Wyklad5.pdf Wykład 5] z KADD dr hab. inż. Adama Kisiela.

-	* Należy zaimplementować funkcję, która oblicza całkę z funkcji f przy użyciu metody von neumanna, w granicach od min do max, dla losowej próbki n punktów.	+	== Wynik ==
		+	''Część pierwsza''

-	~~<code> double calkaVonNeuman(TF1 *f, int min, int max, int n);</code>~~	+	[[File:lab07_kolo2.png]]

		+	Output:
		+	Liczba Pi wynosi: 3.14392

-	''~~'Metoda akceptacji~~ i ~~odrzucania von Neumana z funkcją pomocniczą'~~''	+	''Części druga i trzecia''
-	* Należy zaimplementować funkcję, która oblicza całkę z funkcji f przy użyciu metody von neumanna z funkcją pomocniczą g, w granicach od min do max, dla losowej próbki n punktów. Ponadto zwraca wydajność tego ogliczenia.	+
-		+
-	~~<code> double VonNeumanzPomoc(TF1 f, TF1 g, int min, int max, double wydajnosc);</code>~~	+
-		+
-	~~== Uwagi ==~~	+
-		+
-	~~Odwracanie funkcji kwadratowej:~~	+
-	~~[[File:odwracanie_kwadratowej.png]]~~	+

-	[~~http~~:~~//pl~~.~~wikipedia.org/wiki/Metoda_Monte_Carlo Wikipedia Metoda Monte Carlo~~]	+	[[File:Lab07_dist.png]]

-	~~[http~~:~~//www~~.if.pw.~~edu~~.~~pl/~kisiel/kadd/Wyklad5.pdf KADD Wykład 5 A~~. ~~Kisiel]~~	+	Output:
		+	Calka: 0.199
		+	Wydajnosc: 0.2072
		+	Calka (metoda z funkcja pomocnicza): 0.198745
		+	Wydajnosc (metoda z funkcja pomocnicza): 0.39749
		+	Calka liczona metoda Integral: 0.198652

Majanik: /* Uwagi */

2012-03-29T13:02:15Z

Uwagi

← Older revision		Revision as of 13:02, 29 March 2012
Line 44:		Line 44:

	Odwracanie funkcji kwadratowej:		Odwracanie funkcji kwadratowej:
-	[File:odwracanie_kwadratowej.png]	+	[[File:odwracanie_kwadratowej.png]]

	[http://pl.wikipedia.org/wiki/Metoda_Monte_Carlo Wikipedia Metoda Monte Carlo]		[http://pl.wikipedia.org/wiki/Metoda_Monte_Carlo Wikipedia Metoda Monte Carlo]

	[http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/Wyklad5.pdf KADD Wykład 5 A. Kisiel]		[http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/Wyklad5.pdf KADD Wykład 5 A. Kisiel]

Majanik: /* Uwagi */

2012-03-29T13:02:06Z

Uwagi

← Older revision		Revision as of 13:02, 29 March 2012
Line 44:		Line 44:

	Odwracanie funkcji kwadratowej:		Odwracanie funkcji kwadratowej:
-	[File: odwracanie_kwadratowej.png]	+	[File:odwracanie_kwadratowej.png]

	[http://pl.wikipedia.org/wiki/Metoda_Monte_Carlo Wikipedia Metoda Monte Carlo]		[http://pl.wikipedia.org/wiki/Metoda_Monte_Carlo Wikipedia Metoda Monte Carlo]

	[http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/Wyklad5.pdf KADD Wykład 5 A. Kisiel]		[http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/Wyklad5.pdf KADD Wykład 5 A. Kisiel]

Majanik at 13:01, 29 March 2012

2012-03-29T13:01:58Z

← Older revision		Revision as of 13:01, 29 March 2012
Line 42:		Line 42:

	== Uwagi ==		== Uwagi ==
		+
		+	Odwracanie funkcji kwadratowej:
		+	[File: odwracanie_kwadratowej.png]

	[http://pl.wikipedia.org/wiki/Metoda_Monte_Carlo Wikipedia Metoda Monte Carlo]		[http://pl.wikipedia.org/wiki/Metoda_Monte_Carlo Wikipedia Metoda Monte Carlo]

	[http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/Wyklad5.pdf KADD Wykład 5 A. Kisiel]		[http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/Wyklad5.pdf KADD Wykład 5 A. Kisiel]

Majanik: /* Zadanie */

2012-03-29T11:57:12Z

Zadanie

← Older revision		Revision as of 11:57, 29 March 2012
Line 16:		Line 16:

	Standardowa metoda generacji liczb losowych przez funkcję odwrotną		Standardowa metoda generacji liczb losowych przez funkcję odwrotną
-	ma ~~ogreaniczone~~ zastosowanie. Można jej uzywać tylko w przypadku,	+	ma ograniczone zastosowanie. Można jej uzywać tylko w przypadku,
	gdy dystrybuanta jest znana i możliwe jest znalezienie jej funkcji		gdy dystrybuanta jest znana i możliwe jest znalezienie jej funkcji
	odwrotnej.		odwrotnej.

Majanik: /* Zadanie */

2012-03-29T11:56:17Z

Zadanie

← Older revision		Revision as of 11:56, 29 March 2012
Line 8:		Line 8:
	'''Metody Monte Carlo'''		'''Metody Monte Carlo'''

-	Należy napisać ''funkcję'' która oblicza liczbę Pi Metodą Monte Carlo. W tym celu losujemy dwie liczby z rozkładu jednorodnego [0,1], x i y, i sprawdzamy, czy wylosowana para mieści się wewnątrz koła o promieniu 1. Następnie używając stosunku par zaakceptowanych (mieszczących się wewnątrz) do odrzuconych (tych, które leżą poza okręgiem) oraz wzoru na pole koła należy obliczyć liczbę Pi. Ponadto należy narysować dwa wykresy:	+	Należy napisać ''funkcję'' która oblicza liczbę Pi Metodą Monte Carlo. W tym celu losujemy dwie liczby z rozkładu jednorodnego [0,1], x i y, i sprawdzamy, czy wylosowana para mieści się wewnątrz koła o promieniu 1. Następnie używając stosunku par zaakceptowanych (mieszczących się wewnątrz) do odrzuconych (tych, które leżą poza okręgiem) oraz wzoru na pole koła należy obliczyć liczbę Pi. Ponadto należy narysować dwa wykresy.
	* Liczbami zaakceptowanymi (x) należy wypełnić histogram <code>TH1D</code> oraz go narysować.		* Liczbami zaakceptowanymi (x) należy wypełnić histogram <code>TH1D</code> oraz go narysować.
	* Stworzyć dwa obiekty typu <code>TGraph</code> i jeden z nich wypełniać zaakceptowanymi parami (x,y) a drugi odrzuconymi parami. Przydzielić im dwa różne kolory punktów. Następnie należy narysować oba te obiekty na jednym panelu.		* Stworzyć dwa obiekty typu <code>TGraph</code> i jeden z nich wypełniać zaakceptowanymi parami (x,y) a drugi odrzuconymi parami. Przydzielić im dwa różne kolory punktów. Następnie należy narysować oba te obiekty na jednym panelu.

Majanik: /* Uwagi */

2012-03-29T11:55:02Z

Uwagi

← Older revision		Revision as of 11:55, 29 March 2012
Line 45:		Line 45:
	[http://pl.wikipedia.org/wiki/Metoda_Monte_Carlo Wikipedia Metoda Monte Carlo]		[http://pl.wikipedia.org/wiki/Metoda_Monte_Carlo Wikipedia Metoda Monte Carlo]

-	http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/Wyklad5.pdf KADD Wykład 5 A. Kisiel]	+	[http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/Wyklad5.pdf KADD Wykład 5 A. Kisiel]

Majanik: /* Uwagi */

2012-03-29T11:54:47Z

Uwagi

← Older revision		Revision as of 11:54, 29 March 2012
Line 44:		Line 44:

	[http://pl.wikipedia.org/wiki/Metoda_Monte_Carlo Wikipedia Metoda Monte Carlo]		[http://pl.wikipedia.org/wiki/Metoda_Monte_Carlo Wikipedia Metoda Monte Carlo]
		+
	http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/Wyklad5.pdf KADD Wykład 5 A. Kisiel]		http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/Wyklad5.pdf KADD Wykład 5 A. Kisiel]