KADD 2012 Zadanie 6

From Łukasz Graczykowski

Revision as of 07:54, 26 March 2012

Zadanie

Część pierwsza: liniowy kongruentny generator liczb losowych

Należy napisać generator liczb pseudolosowych oraz zapisać wygenerowane liczby do pliku.

Stworzony generator powinien opierać się na wzorze:

x[j+1] = ( a*x[j] + c ) mod m.

Generator taki nazywamy generatorem LCG - czyli generatorem liniowym kongruentnym. Zadanie pewnej wartości poczatkowej x[0] definiuje nam zatem cały ciąg, który ponadto jest ciągiem okresowym. Okres zależy od doboru parametrów i przy spelnieniu kilku warunków osiąga maksymalnie wartość m. Warunki te to:

• c i m nie maja wspolnych dzielników,
• b = a-1 jest wielokrotnoscia kazdej liczby pierwszej p, ktora jest dzielnikiem liczby m,
• b jest wielokrotnością 4 jesli m tez jest wielokrotnością 4.

Dla uproszczenia należy przyjąć c = 0, otrzymując w ten sposób multiplikatywny liniowy generator kongruentny (MLCG).

• Wartości a oraz m powinny być łatwe do modyfikacji w programie.

Efektem działania makra powinien być plik nazwa.dat zawierający ciąg wygenerowanych liczb dla zadanych parametrów. Makro należy uruchomić trzy razy, otrzymując trzy pliki: losowe1.dat, losowe2.dat, losowe3.dat<code>, dla parametrów odpowiednio:

• <code>m=7 i a=3,
• m=97 i a=23,
• m=32363 i a=157.

Część druga: test widmowy

Należy przeprowadzić test widmowy aby przetestować jakość generatora. By to zrobić należy narysować na płaszczyźnie punkty o współrzędnych (x[n], x[n+1]). Uzyskany obraz utworzy wzór przypominający widmo generatora - stąd nazwa testu.

Jeśli punkty będą rozłożone równomiernie generator można uznać za dobry. Jeśli zdecydowanie widać pewną okresowość - punkty powtarzają się wielokrotnie - generator nie działa poprawnie. Oczywiście na rozłożenie punktów wpływa jedynie dobór parametrów a i m.

• Do tworzenia wykresów widma poleca się użycie obiektów TH2D.

Wynikiem działania programu powinny być trzy wykresy widma uzyskane na podstawie uprzednio zapisanych plików losowe1.dat, losowe2.dat, losowe3.dat.

Część trzecia: Generacja liczb losowych oparta na transformacji rozkładu jednorodnego

Dowolna funkcja zmiennej losowej jest zmienną losową. Powstaje więc pytanie jaka jest gęstość zmiennej losowej Y jeżeli znana jest gęstość f(x). Zakładamy że prawdopodobieństwo g(y)dy jest równe f(x)dx gdzie dx odpowiada wartością dy. Warunek jest spełniony dla odpowiednio małych dx. Wynika stąd, że:

g(y) = dy/dx f(x)

Teraz jeżeli założymy, że gęstość prawdopodobieństwa f(x) = 1 dla 0<=x<=1 i f(x) = 0 dla x<= 0 i x>1 to powyższe równanie możemy zapisać w postaci:

g(y)dy = dx = dG(y),

gdzie G(y) jest dystrybuantą zmiennej losowej Y. Co po całkowaniu daje nam

x = G(y) => y = G^-1(x).

Jeśli zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku pomiędzy 0 i 1 oraz jeśli znana jest funkcja odwrotna G^-1(x) to funkcja g(y) opisuje gęstość prawdopodobieństwa rozkładu zmiennej losowej Y.

Używając tej metody należy wygenerować 10000 liczb z rozkładu:

Dla tau = 2:

• Należy wygenerować 10000 liczb z rozkładu 0 do 1 używając generatora z części pierwszej.
• Analitycznie (na kartce) policzyć dystrybuantę tego rozkładu, a następnie funkcję odwrotną.
• Wygenerować rozkład f(x) - wrzucając wygenerowane wartości do histogramu - korzystając z:
  • Liczb wygenerowanych z pliku.
  • Standardowego generatora ROOT'a gRandom->Rndm(1).
• Narysować na jednym wykresie histogram (odpowiednio unormowany) oraz teoretyczną funkcję f(x) (obiekt TF1).