KADD 2022 Laboratorium 7 EN - Revision history

Lgraczyk: /* Attention */

2022-04-11T11:52:47Z

Attention

← Older revision		Revision as of 11:52, 11 April 2022
Line 35:		Line 35:

	== Attention ==		== Attention ==
-	* Read carefully '''Lecture 5''' [http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2022/Wyklad5-2022.pdf link] slides 9-19	+	* Read carefully '''Lecture 5''' [http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2022/Wyklad5-2022.pdf link] slides 9-17
	* To generate numbers from the uniform distribution, use function <code>Uniform</code> from class <code>TRandom</code> OR the '''generator written last time'''		* To generate numbers from the uniform distribution, use function <code>Uniform</code> from class <code>TRandom</code> OR the '''generator written last time'''
	* Remember, always accept points below the curve to all generated points.		* Remember, always accept points below the curve to all generated points.

Lgraczyk: /* Attention */

2022-04-11T11:52:06Z

Attention

← Older revision		Revision as of 11:52, 11 April 2022
Line 40:		Line 40:
	* '''As a helper function we will use a linear function.'''		* '''As a helper function we will use a linear function.'''
	* In the case of integration using a helper function, we always choose it in such a way that it is possible to generate the number from its distribution in an easy way (by inverting the cumulative distribution function) - in other words, we convert the rectangle (two uniform distributions) to another area inside which we draw (we must be able to draw numbers from this area)		* In the case of integration using a helper function, we always choose it in such a way that it is possible to generate the number from its distribution in an easy way (by inverting the cumulative distribution function) - in other words, we convert the rectangle (two uniform distributions) to another area inside which we draw (we must be able to draw numbers from this area)
-	* Quadratic function and its inverse:	+	* Quadratic function and its inverse function:

	[[File:Odwracanie_kwadratowej.png]]		[[File:Odwracanie_kwadratowej.png]]

Lgraczyk: /* Attention */

2022-04-11T11:51:57Z

Attention

← Older revision		Revision as of 11:51, 11 April 2022
Line 35:		Line 35:

	== Attention ==		== Attention ==
-	* Read carefully '''~~LEcture~~ 5''' [http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2022/Wyklad5-2022.pdf link] slides 9-19	+	* Read carefully '''Lecture 5''' [http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2022/Wyklad5-2022.pdf link] slides 9-19
	* To generate numbers from the uniform distribution, use function <code>Uniform</code> from class <code>TRandom</code> OR the '''generator written last time'''		* To generate numbers from the uniform distribution, use function <code>Uniform</code> from class <code>TRandom</code> OR the '''generator written last time'''
	* Remember, always accept points below the curve to all generated points.		* Remember, always accept points below the curve to all generated points.

Lgraczyk: /* Attention */

2022-04-11T11:51:48Z

Attention

← Older revision		Revision as of 11:51, 11 April 2022
Line 35:		Line 35:

	== Attention ==		== Attention ==
-	* ~~Czytamy dokładnie~~ '''~~Wykład~~ 5''' [http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/~~KADD2019~~/Wyklad5-~~2019~~.pdf link] ~~slajdy~~ 9-19	+	* Read carefully '''LEcture 5''' [http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2022/Wyklad5-2022.pdf link] slides 9-19
-	* ~~Do generowania liczb z rozkładu jednorodnego używamy funkcji~~ <code>Uniform</code> ~~z klasy~~ <code>TRandom</code> ~~lub~~ '''~~generatora napisanego w poprzednim zadaniu~~'''	+	* To generate numbers from the uniform distribution, use function <code>Uniform</code> from class <code>TRandom</code> OR the '''generator written last time'''
-	* ~~Pamiętajmy~~, że zawsze akceptujemy wylosowane punkty pod zadaną krzywą w stosunku do wszystkich wylosowanych (stosunek ten ma się do siebie (dla N dążących do nieskończoności) jak stosunki powierzchni obszarów wewnątrz których zostało dokonane losowanie)	+	* Remember, always accept points below the curve to all generated points.
-	* '''~~Jako funkcję pomocniczą przyjmujemy funkcję liniową~~.'''	+	* '''As a helper function we will use a linear function.'''
-	* ~~W przypadku całkowania z wykorzystaniem funkcji pomocniczej zawsze dobieramy ją w taki sposób~~, ~~aby można było wygenerować liczbę z jej rozkładu w łatwy sposób~~ (~~za pomocą odwracania dystrybuanty~~) - ~~innymi słowy~~, ~~zamieniamy prostokąt~~ (~~dwa rozkłady jednorodne~~) ~~na inny obszar, wewnatrz którego dokonujemy losowań~~ (~~musimy umieć wylosować liczby z tego obszaru~~)	+	* In the case of integration using a helper function, we always choose it in such a way that it is possible to generate the number from its distribution in an easy way (by inverting the cumulative distribution function) - in other words, we convert the rectangle (two uniform distributions) to another area inside which we draw (we must be able to draw numbers from this area)
-		+	* Quadratic function and its inverse:
-	* ~~Funkcja kwadratowa i jej odwrotność~~:	+

	[[File:Odwracanie_kwadratowej.png]]		[[File:Odwracanie_kwadratowej.png]]

Lgraczyk at 11:48, 11 April 2022

2022-04-11T11:48:20Z

← Older revision		Revision as of 11:48, 11 April 2022
Line 24:		Line 24:
	* <code>double integra;VonNeumann(TF1 *g, double min, double max, int n)</code> - function returning the definite integral (area under the curve) from function g(y) in the range [min,max] with the number of generations n.		* <code>double integra;VonNeumann(TF1 *g, double min, double max, int n)</code> - function returning the definite integral (area under the curve) from function g(y) in the range [min,max] with the number of generations n.

-	''~~Część trzecia~~:'' '''~~metoda akceptacji i odrzucania~~ von ~~Neumanna z funkcją pomocniczą~~''' (1 pkt.)	+	''Part three:'' '''acceptance rejection method of von Neumann with the helper function''' (1 pkt.)

-	~~W celu zwiększenia wydajności metody~~ von ~~Neumanna~~, ~~można posłużyć się ograniczeniem przedziału losowania w postacji zadanej funkcji pomocniczej~~. ~~W tej części zaimplementować funkcję, która oblicza całkę z funkcji g(y) metodą akceptacji i odrzucania von Neumanna z funkcją pomocniczą~~ s(y):	+	In order to improve the efficiency of the von Neumann function, we can limit the area of random points generation with the use of a helper function. In that case we can generate one number from the pair from the s(y) helper function, instead of a uniform distribution:
-	* <code>double ~~calkaVonNeumannZPomoc~~(TF1 g, TF1 s, double min, double max, int n, double &wydajnosc)</code> - ~~zwraca całkę na przedziale~~ [min,max] ~~oraz dla zadanej liczby losowań~~ n. ~~Ponadto~~, ~~funkcja powinna zwrócić '''przez referencję'''~~ (~~ponieważ w języku~~ C/C++ ~~funkcja nie może zwrócić dwóch wartości~~) ~~wydajność tej metody~~.	+	* <code>double integralVonNeumannWithHelper(TF1 g, TF1 s, double min, double max, int n, double &wydajnosc)</code> - returns the definite integral of the function g(y) in the range [min,max] for a given number of generations n. In addition, the function should take as an argument through a reference (because in C/C++ any function can return only one quantity).

-	~~Funkcję~~ s(y) ~~dobieramy tak, by~~ '''~~zawsze~~''' ~~znajdowała się powyżej funkcji~~ g(y) ~~i można z niej było łatwo wygenerować liczbę pseudolosową~~ (~~na przykład metodą transformacji rozkładu jednorodnego z wykorzystaniem odwrotności dystrybuanty; na wykładzie przykład z funkcją liniową~~).	+	The function s(y) we choose '''always''' in a way it is above the function g(y) and so that you can easily generate a random number from the s(y) distribution (i.e. by applying the transformation of the inverse cumulative distribution, like last time).

-	~~Wszystkie obliczenia należy wykonać dla funkcji typu~~:	+	All calculations please fo for the following function:
	[[File:Lab07_funkcja2.png]]		[[File:Lab07_funkcja2.png]]

-	== ~~Uwagi~~ ==	+	== Attention ==
	* Czytamy dokładnie '''Wykład 5''' [http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2019/Wyklad5-2019.pdf link] slajdy 9-19		* Czytamy dokładnie '''Wykład 5''' [http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2019/Wyklad5-2019.pdf link] slajdy 9-19
	* Do generowania liczb z rozkładu jednorodnego używamy funkcji <code>Uniform</code> z klasy <code>TRandom</code> lub '''generatora napisanego w poprzednim zadaniu'''		* Do generowania liczb z rozkładu jednorodnego używamy funkcji <code>Uniform</code> z klasy <code>TRandom</code> lub '''generatora napisanego w poprzednim zadaniu'''

Lgraczyk at 11:43, 11 April 2022

2022-04-11T11:43:44Z

← Older revision		Revision as of 11:43, 11 April 2022
Line 19:		Line 19:
	the g(y) distribution, but the drawback is that you have to generate two numbers, now one. This method will also work if the g(y) function is not a proper probability distribution (it even does not need to be normalized - every function you can always normalize). This allows for a very broad application of the von Neumann method - also to calculate definite integrals, when their analytical form does not exist. This is a typical example of a Monte Carlo method.		the g(y) distribution, but the drawback is that you have to generate two numbers, now one. This method will also work if the g(y) function is not a proper probability distribution (it even does not need to be normalized - every function you can always normalize). This allows for a very broad application of the von Neumann method - also to calculate definite integrals, when their analytical form does not exist. This is a typical example of a Monte Carlo method.

-	~~Należy stworzyć trzy~~ '''~~bardzo podobne~~''' ~~funkcje przyjmujące obiekt typu~~ <code>TF1</code>. ~~Powinny one przyjmować funkcję~~ g ~~na przedziale~~ [min,max]:	+	Please prepare thee '''very similar''' functions taking as argument an object of type <code>TF1</code>. The arguments should be the function g and the range [min,max]:
-	* <code>double ~~losujVonNeumann~~(TF1 *g, double min, double max)</code> - ~~funkcja zwraca ''jedną'' liczbę pseudolosową z funkcji~~ g(y),	+	* <code>double generateVonNeumann(TF1 *g, double min, double max)</code> - function returning a generated pseudo random number from distribution g(y),
-	* <code>double ~~wydajnoscVonNeumann~~(TF1 *g, double min, double max, int n)</code> - ~~funkcja zwraca wydajność metody akceptacji i odrzucania~~ von ~~Neumanna dla danej funkcji~~ g(y) ~~oraz zadanej liczby losowań~~ n,	+	* <code>double efficiencyVonNeumann(TF1 *g, double min, double max, int n)</code> - function returning the efficiency of the von Neumann method for a given g(y) function and the number of generations n,
-	* <code>double ~~calkaVonNeumann~~(TF1 *g, double min, double max, int n)</code> - ~~funkcja zwraca całkę oznaczoną~~ (~~pole powierzchni pod krzywą~~) ~~z funkcji~~ g(y) ~~na przedzialne~~ [min,max] ~~przy liczbie losowań~~ n.	+	* <code>double integra;VonNeumann(TF1 *g, double min, double max, int n)</code> - function returning the definite integral (area under the curve) from function g(y) in the range [min,max] with the number of generations n.

	''Część trzecia:'' '''metoda akceptacji i odrzucania von Neumanna z funkcją pomocniczą''' (1 pkt.)		''Część trzecia:'' '''metoda akceptacji i odrzucania von Neumanna z funkcją pomocniczą''' (1 pkt.)

Lgraczyk at 11:40, 11 April 2022

2022-04-11T11:40:27Z

← Older revision		Revision as of 11:40, 11 April 2022
Line 47:		Line 47:
	* [http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2016/Wyklad5-2016.pdf Wykład 5]		* [http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2016/Wyklad5-2016.pdf Wykład 5]

-	== ~~Wynik~~ ==	+	== Results ==
-	''~~Część pierwsza~~''	+	''Part one''

	[[File:lab07_kolo2.png]]		[[File:lab07_kolo2.png]]

	Output:		Output:
-	~~Liczba~~ Pi ~~wynosi~~: 3.14392	+	The Pi number equals: 3.14392

-	''~~Części druga i trzecia~~''	+	''Parts two and three''

	[[File:Lab07_dist.png]]		[[File:Lab07_dist.png]]

	Output:		Output:
-	~~Calka~~: 0.199	+	Integral: 0.199
-	~~Wydajnosc~~: 0.2072	+	Efficiency: 0.2072
-	~~Calka~~ (~~metoda z funkcja pomocnicza~~): 0.198745	+	Integral (method with the helper function): 0.198745
-	~~Wydajnosc~~ (~~metoda z funkcja pomocnicza~~): 0.39749	+	Efficiency (method with the helper function): 0.39749
-	~~Calka liczona metoda~~ Integral: 0.198652	+	Integral calculated using the ROOT method Integral: 0.198652

Lgraczyk at 11:38, 11 April 2022

2022-04-11T11:38:33Z

← Older revision		Revision as of 11:38, 11 April 2022
Line 16:		Line 16:
	''Part two'': '''generation of pseudo random numbers from a any probability distribution using the acceptance rejection method of von Neumann''' (3 pkt.)		''Part two'': '''generation of pseudo random numbers from a any probability distribution using the acceptance rejection method of von Neumann''' (3 pkt.)

-	~~Wykorzystana tydzień temu metoda transformacji rozkładu jednorodnego z wykorzystaniem funkcji odwrotnej do dystrybuanty ma ograniczone zastosowanie~~. ~~Jej zastosowanie jest możliwe tylko wtedy, gdy znana jest jawna postać dystrybuanty oraz można znaleźć funkcję~~ do ~~niej odwrotną~~. ~~'''Metoda~~ von ~~Neumanna''' pozwala wygenerowanie liczb pseudolosowych, gdy znany jest tylko rozkład~~ g(y)~~. W ogólności metoda działa nawet wtedy~~, ~~gdy funkcja~~ g(y) ~~''nie jest'' rozkładem gęstości prawdopodobieństwa~~ (~~całka z niej nie wynosi 1~~). ~~Pozwala to na bardzo szerokie wykorzystanie metody~~ von ~~Neumanna~~ - ~~przede wszystkim do obliczania całek oznaczonych ze skomplikowanych funkcji~~, ~~gdy ich analityczne scałkowanie jest niemożliwe~~. ~~Metody tego typu noszą nazwę wspomnianych wcześniej '''metod~~ Monte Carlo~~'''~~.	+	The transformation method used a week ago has limited applications. You can do this when the analytical form of the cumulative function and its inverse function are known. The von Neumann method of generation of pseudo random numbers will work when you know only
		+	the g(y) distribution, but the drawback is that you have to generate two numbers, now one. This method will also work if the g(y) function is not a proper probability distribution (it even does not need to be normalized - every function you can always normalize). This allows for a very broad application of the von Neumann method - also to calculate definite integrals, when their analytical form does not exist. This is a typical example of a Monte Carlo method.

	Należy stworzyć trzy '''bardzo podobne''' funkcje przyjmujące obiekt typu <code>TF1</code>. Powinny one przyjmować funkcję g na przedziale [min,max]:		Należy stworzyć trzy '''bardzo podobne''' funkcje przyjmujące obiekt typu <code>TF1</code>. Powinny one przyjmować funkcję g na przedziale [min,max]:

Lgraczyk at 11:28, 11 April 2022

2022-04-11T11:28:13Z

← Older revision		Revision as of 11:28, 11 April 2022
Line 14:		Line 14:
	* in addition, you can create a <code>TH1D</code> object and fill it with accepted values of x. It will be a distribution of the circle.		* in addition, you can create a <code>TH1D</code> object and fill it with accepted values of x. It will be a distribution of the circle.

-	''Part two'': '''~~generowanie liczb pseudolosowych z dowolnego rozkładu metodą akceptacji i odrzucania~~ von ~~Neumanna~~''' (3 pkt.)	+	''Part two'': '''generation of pseudo random numbers from a any probability distribution using the acceptance rejection method of von Neumann''' (3 pkt.)

	Wykorzystana tydzień temu metoda transformacji rozkładu jednorodnego z wykorzystaniem funkcji odwrotnej do dystrybuanty ma ograniczone zastosowanie. Jej zastosowanie jest możliwe tylko wtedy, gdy znana jest jawna postać dystrybuanty oraz można znaleźć funkcję do niej odwrotną. '''Metoda von Neumanna''' pozwala wygenerowanie liczb pseudolosowych, gdy znany jest tylko rozkład g(y). W ogólności metoda działa nawet wtedy, gdy funkcja g(y) ''nie jest'' rozkładem gęstości prawdopodobieństwa (całka z niej nie wynosi 1). Pozwala to na bardzo szerokie wykorzystanie metody von Neumanna - przede wszystkim do obliczania całek oznaczonych ze skomplikowanych funkcji, gdy ich analityczne scałkowanie jest niemożliwe. Metody tego typu noszą nazwę wspomnianych wcześniej '''metod Monte Carlo'''.		Wykorzystana tydzień temu metoda transformacji rozkładu jednorodnego z wykorzystaniem funkcji odwrotnej do dystrybuanty ma ograniczone zastosowanie. Jej zastosowanie jest możliwe tylko wtedy, gdy znana jest jawna postać dystrybuanty oraz można znaleźć funkcję do niej odwrotną. '''Metoda von Neumanna''' pozwala wygenerowanie liczb pseudolosowych, gdy znany jest tylko rozkład g(y). W ogólności metoda działa nawet wtedy, gdy funkcja g(y) ''nie jest'' rozkładem gęstości prawdopodobieństwa (całka z niej nie wynosi 1). Pozwala to na bardzo szerokie wykorzystanie metody von Neumanna - przede wszystkim do obliczania całek oznaczonych ze skomplikowanych funkcji, gdy ich analityczne scałkowanie jest niemożliwe. Metody tego typu noszą nazwę wspomnianych wcześniej '''metod Monte Carlo'''.

Lgraczyk at 11:27, 11 April 2022

2022-04-11T11:27:04Z

← Older revision		Revision as of 11:27, 11 April 2022
Line 7:		Line 7:
	\|}		\|}

-	== ~~Zadanie~~ ==	+	== Exercise ==
-	''~~Część pierwsza~~'': '''~~obliczanie liczby~~ Pi''' (1 pkt.)	+	''Part one'': '''estimation of the Pi''' (1 pkt.)

-	~~Należy napisać~~ '''~~funkcję~~'''~~, która oblicza liczbę~~ Pi '''~~metodą~~ von ~~Neumanna~~''' (~~jest to bodajże najprostszy przykład wykorzystania metody typu~~ '''Monte Carlo'''). ~~W tym celu losujemy z rozkładu jednorodnego na przedziale~~ [0,1] ~~dwie liczby x i y, i sprawdzamy, czy wylosowana para mieści się wewnątrz koła o promieniu~~ 1. ~~Następnie używając stosunku par zaakceptowanych (mieszczących się wewnątrz) do odrzuconych (tych~~, ~~które leżą poza okręgiem) oraz wzoru na pole koła~~, ~~należy obliczyć liczbę~~ Pi. ~~Ponadto~~, ~~należy narysować wykres trafień leżących wewnątrz oraz na zewnątrz koła~~:	+	Please write a '''function''' which estimates the number Pi with the '''von Neumann''' (it is arguably one of the most simple examples of the use-case of a '''Monte Carlo''' method). In order to calculate the Pi, we randomly generate two numbers x and y from the uniform distribution [0,1] and we check whether the pair falls within the circle of the radius equal to 1. Next, by calculating the ratio of accepted pairs to all of them, you approximate the ratio of areas of the circle to the rectangle. By performing such a random generation, calculate the Pi number. In addition, draw the graph of the resulted points inside and outside the circle:
-	* ~~stworzyć dwa obiekty typu~~ <code>TGraph</code> ~~i jeden z nich wypełniać zaakceptowanymi parami~~ (x,y), ~~drugi zaś odrzuconymi~~. ~~Oba wykresy narysować na jednym panelu~~,	+	* create two objects of type <code>TGraph</code> and fill one of them with accepted pairs (x,y), the second one with rejected pairs. Both plots draw on one canvas,
-	* ~~dodatkowo można stworzyć obiekt~~ <code>TH1D</code> ~~i wypełnić go zaakceptowanymi wartościami~~ x. ~~Będzie dany rozkładem wyznaczonym ze wzoru na pole koła~~.	+	* in addition, you can create a <code>TH1D</code> object and fill it with accepted values of x. It will be a distribution of the circle.

-	''~~Część druga~~'': '''generowanie liczb pseudolosowych z dowolnego rozkładu metodą akceptacji i odrzucania von Neumanna''' (3 pkt.)	+	''Part two'': '''generowanie liczb pseudolosowych z dowolnego rozkładu metodą akceptacji i odrzucania von Neumanna''' (3 pkt.)

	Wykorzystana tydzień temu metoda transformacji rozkładu jednorodnego z wykorzystaniem funkcji odwrotnej do dystrybuanty ma ograniczone zastosowanie. Jej zastosowanie jest możliwe tylko wtedy, gdy znana jest jawna postać dystrybuanty oraz można znaleźć funkcję do niej odwrotną. '''Metoda von Neumanna''' pozwala wygenerowanie liczb pseudolosowych, gdy znany jest tylko rozkład g(y). W ogólności metoda działa nawet wtedy, gdy funkcja g(y) ''nie jest'' rozkładem gęstości prawdopodobieństwa (całka z niej nie wynosi 1). Pozwala to na bardzo szerokie wykorzystanie metody von Neumanna - przede wszystkim do obliczania całek oznaczonych ze skomplikowanych funkcji, gdy ich analityczne scałkowanie jest niemożliwe. Metody tego typu noszą nazwę wspomnianych wcześniej '''metod Monte Carlo'''.		Wykorzystana tydzień temu metoda transformacji rozkładu jednorodnego z wykorzystaniem funkcji odwrotnej do dystrybuanty ma ograniczone zastosowanie. Jej zastosowanie jest możliwe tylko wtedy, gdy znana jest jawna postać dystrybuanty oraz można znaleźć funkcję do niej odwrotną. '''Metoda von Neumanna''' pozwala wygenerowanie liczb pseudolosowych, gdy znany jest tylko rozkład g(y). W ogólności metoda działa nawet wtedy, gdy funkcja g(y) ''nie jest'' rozkładem gęstości prawdopodobieństwa (całka z niej nie wynosi 1). Pozwala to na bardzo szerokie wykorzystanie metody von Neumanna - przede wszystkim do obliczania całek oznaczonych ze skomplikowanych funkcji, gdy ich analityczne scałkowanie jest niemożliwe. Metody tego typu noszą nazwę wspomnianych wcześniej '''metod Monte Carlo'''.