KADD 2022 Laboratorium 6 EN - Revision history

Lgraczyk: /* Exercise */

2022-04-04T12:05:24Z

Exercise

← Older revision		Revision as of 12:05, 4 April 2022
Line 26:		Line 26:
	The result of the macro execution should be a file with the name name.dat containing a series of generated numbers for a given set of parameters. The macro should be executed three times, resulting in three files: <code>random1.dat, random2.dat, random3.dat</code>, for the following parameters, respectively:		The result of the macro execution should be a file with the name name.dat containing a series of generated numbers for a given set of parameters. The macro should be executed three times, resulting in three files: <code>random1.dat, random2.dat, random3.dat</code>, for the following parameters, respectively:

-	* <code>m=97</code> i <code>g=23</code>,	+	* <code>m=97</code> and <code>g=23</code>,
-	* <code>m=32363</code> i <code>g=157</code>,	+	* <code>m=32363</code> and <code>g=157</code>,
-	* <code>m=147483647</code> i <code>g=16807</code>.	+	* <code>m=147483647</code> and <code>g=16807</code>.

	''Second part'': '''spectral test''' (1 pkt.)		''Second part'': '''spectral test''' (1 pkt.)

Lgraczyk: /* Attention */

2022-04-04T12:02:47Z

Attention

← Older revision		Revision as of 12:02, 4 April 2022
Line 70:		Line 70:

	== Attention ==		== Attention ==
-	* '''~~Czytamy dokładnie Wykład~~ 4 ([http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/~~KADD2019~~/Wyklad4-~~2019~~.pdf link]), ~~zwłaszcza slajdy~~ 6 ~~oraz 18~~-25	+	* '''Read carefully the Lecture 4 ([http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2022/Wyklad4-2022.pdf link]), especially slids 6 and 8-25
-	* '''~~Na samym początku~~, ~~przed losowaniem~~, ~~musimy samodzielnie ustawić wartość pierwszej liczby pseudolosowej~~ x0 (~~tzw. ziarno,~~ "seed"). ~~Jeżeli chcemy~~, ~~by za każdym razem liczby pseudolosowe były inne, możemy je ustawić z zegara systemowego~~:'''	+	* '''At the beginning, before random number generation, we need to set the first number from the series x0 (so called "seed"). If we want that every time the random numbers are different, we can set the seed from the system clock:'''
	x0 = time(NULL);		x0 = time(NULL);
-	* ~~Parametry histogramów z obrazków poniżej~~:	+	* PArameters of the histograms shown below:
	TH1D *hUniform = new TH1D("hUniform","Uniform distribution",100,0,1);		TH1D *hUniform = new TH1D("hUniform","Uniform distribution",100,0,1);
	TH2D *hCorr = new TH2D("hCorr","Correlation",100,xmin,xmax,100,0,1);		TH2D *hCorr = new TH2D("hCorr","Correlation",100,xmin,xmax,100,0,1);
-	* ~~Ilość losowań w części pierwszej~~:	+	* Number of random number generations:
	const int N = 1000000;		const int N = 1000000;
-	* ~~Wczytywanie danych z pliku~~:	+	* Example of reading from the text file:
	ifstream ifile;		ifstream ifile;
	ifile.open("dane.dat");		ifile.open("dane.dat");
Line 88:		Line 88:
	ifile.close();		ifile.close();

-	* ~~Zapisywanie danych do pliku~~:	+	* Example of writing to the text file:
	ofstream ofile;		ofstream ofile;
	ofile.open("dane.dat");		ofile.open("dane.dat");

Lgraczyk: /* Wynik */

2022-04-04T11:58:38Z

Wynik

← Older revision		Revision as of 11:58, 4 April 2022
Line 96:		Line 96:
	ofile.close();		ofile.close();

-	== ~~Wynik~~ ==	+	== Results ==
-	~~Przykładowy rozkład dla parametrów~~:	+	Example distribution for parameters:
	* <code>m=97, g=23</code>		* <code>m=97, g=23</code>
	[[File:lab06_n97_g23_2.png]]		[[File:lab06_n97_g23_2.png]]
Line 103:		Line 103:
	[[File:lab06_n2147483647_g16807_2.png]]		[[File:lab06_n2147483647_g16807_2.png]]

-	~~Przykładowy wynik transformacji rozkładu jednorodnego~~:	+	Example transformation of a uniform distribution:


	[[File:lab06_b_2.png]]		[[File:lab06_b_2.png]]

Lgraczyk at 11:58, 4 April 2022

2022-04-04T11:58:03Z

← Older revision		Revision as of 11:58, 4 April 2022
Line 46:		Line 46:
	<code>g(y) = dx/dy f(x)</code>		<code>g(y) = dx/dy f(x)</code>

-	~~Teraz jeżeli założymy~~, ~~że gęstość prawdopodobieństwa~~ <code>f(x)</code> ~~wynosi~~ 1 w <code>0<=x<=1</code> i <code>f(x) = 0</code> ~~dla~~ <code>x<= 0 i x>1</code> ~~to powyższe równanie możemy zapisać w postaci~~:	+	Now, if we assume that the probability density <code>f(x)</code> equals 1 in the range <code>0<=x<=1</code> and <code>f(x) = 0</code> for <code>x<= 0 and x>1</code>, then the above formula we can rewrite in the following form:

	<code>g(y)dy = dx = dG(y),</code>		<code>g(y)dy = dx = dG(y),</code>

-	~~gdzie~~ <code>G(y)</code> ~~jest dystrybuantą zmiennej losowej~~ <code>Y</code>. ~~Co po całkowaniu daje nam~~	+	where <code>G(y)</code> is a cumulative distribution of the random variable <code>Y</code>. After integration this gives us:

	<code>x = G(y) => y = G^-1(x).</code>		<code>x = G(y) => y = G^-1(x).</code>

-	~~Jeśli zmienna losowa~~ <code>X</code> ~~ma rozkład jednostajny na odcinku pomiędzy~~ 0 i 1 ~~oraz jeśli znana jest funkcja odwrotna~~ <code>G^-1(x)</code> ~~to funkcja~~ <code>g(y)</code> ~~opisuje gęstość prawdopodobieństwa rozkładu zmiennej losowej~~ Y.	+	If the random variable <code>X</code> has a uniform distribution between 0 and 1 and we know the inverse function <code>G^-1(x)</code> then the function <code>g(y)</code> describes the probability distribution of the random variable Y.

-	~~Używając tej metody należy wygenerować~~ 10000 ~~liczb z rozkładu~~:	+	By using this method please generate 10000 numbers from the distribution:

	[[File:Lab06_wzor.png]]		[[File:Lab06_wzor.png]]

-	~~Dla~~ <code>tau = 2</code>:	+	For <code>tau = 2</code>:

-	* ~~Należy wygenerować~~ 10000 ~~liczb z rozkładu~~ 0 do 1 ~~używając generatora z części pierwszej~~ ('''~~zapisać do pliku wartości~~ xn ~~makrem z pierwszej części~~ a ~~następnie je wczytać w makrze z części drugiej~~''').	+	* Generate 10000 numbers from the distribution from 0 to 1 using a generator from the first part ('''save in the file values of xn with a macro from the first file, in order to read them by a macro from the second part.''').
-	* ~~Analitycznie~~ (~~na kartce~~) ~~policzyć dystrybuantę tego rozkładu~~, ~~a następnie funkcję odwrotną~~. (1 pkt.)	+	* Analytically (on the piece of paper)calculate the cumulative distribution of this formula, then you need to invert it. (1 pkt.)
-	* ~~Wygenerować rozkład~~ <code>f(x)</code> - ~~wrzucając wygenerowane wartości do histogramu~~ - korzystając z: (1 pkt.)	+	* Generate a distribution <code>f(x)</code> - putting generated values into a histogram - korzystając z: (1 pkt.)
-	** ~~liczb wygenerowanych wcześniej i wczytanych z plików~~ <code>~~losowe1~~.dat, ~~losowe2~~.dat, ~~losowe3~~.dat</code>,	+	** numbers generated before and read from files<code>random1.dat, random2.dat, random3.dat</code>,
-	** ~~standardowego generatora~~ ROOT'a, np. <code>gRandom->Uniform(1)</code> (~~obiekt~~ gRandom ~~istnieje domyślnie w uruchomionej instancji~~ ROOT~~; można oczywiście również stworzyć samodzielnie obiekt~~ TRandom - [https://root.cern.ch/root/html534/TRandom.html link]).	+	** standard generator implemented in ROOT, i..e <code>gRandom->Uniform(1)</code> (the object gRandom exists in the default instance of ROOT, you can also create it by using TRandom objects via a standard way by using a constructor - [https://root.cern.ch/root/html534/TRandom.html link]).
-	* ~~Narysować na jednym wykresie~~ histogram (~~odpowiednio unormowany~~) ~~oraz funkcję teoretyczną~~ <code>f(x)</code> (~~obiekt~~ <code>TF1</code>). (1 pkt.)	+	* Draw on a single plot the histogram (normalized) and the theoretical function <code>f(x)</code> (<code>TF1</code> object). (1 pkt.)

-	== ~~Uwagi~~ ==	+	== Attention ==
	* '''Czytamy dokładnie Wykład 4 ([http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2019/Wyklad4-2019.pdf link]), zwłaszcza slajdy 6 oraz 18-25		* '''Czytamy dokładnie Wykład 4 ([http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2019/Wyklad4-2019.pdf link]), zwłaszcza slajdy 6 oraz 18-25
	* '''Na samym początku, przed losowaniem, musimy samodzielnie ustawić wartość pierwszej liczby pseudolosowej x0 (tzw. ziarno, "seed"). Jeżeli chcemy, by za każdym razem liczby pseudolosowe były inne, możemy je ustawić z zegara systemowego:'''		* '''Na samym początku, przed losowaniem, musimy samodzielnie ustawić wartość pierwszej liczby pseudolosowej x0 (tzw. ziarno, "seed"). Jeżeli chcemy, by za każdym razem liczby pseudolosowe były inne, możemy je ustawić z zegara systemowego:'''

Lgraczyk at 11:34, 4 April 2022

2022-04-04T11:34:55Z

← Older revision		Revision as of 11:34, 4 April 2022
Line 40:		Line 40:
	As a result, we should have three spectral tests.		As a result, we should have three spectral tests.

-	''~~Część trzecia~~'': '''~~generacja liczb losowych oparta na transformacji rozkładu jednorodnego~~''' (3 pkt.)	+	''Third part'': '''generation of pseudorandom numbers based on transformation of a uniform distribution''' (3 pkt.)

-	~~Dowolna funkcja zmiennej losowej jest zmienną losową~~. ~~Powstaje więc pytanie jaka jest gęstość zmiennej losowej~~ Y ~~jeżeli znana jest gęstość~~ <code>f(x)</code>. ~~Zakładamy~~, ~~że prawdopodobieństwo~~ <code>g(y)dy</code> ~~jest równe~~ <code>f(x)dx</code>, ~~gdzie~~ <code>dx</code> ~~odpowiada wartością~~ <code>dy</code>. ~~Warunek jest spełniony dla odpowiednio małych~~ <code>dx</code>. ~~Wynika stąd, że~~:	+	Each function of the random variable is also a random variable. What is the probability distribution of a random variable Y, if the probability distribution of X, <code>f(x)</code>, is known. We assume, that the probability <code>g(y)dy</code> is equal to <code>f(x)dx</code>, where <code>dx</code> equals <code>dy</code>. The condition is of course fulfilled for (infinitely) small <code>dx</code>. What results from this is the following:

	<code>g(y) = dx/dy f(x)</code>		<code>g(y) = dx/dy f(x)</code>

Lgraczyk at 11:31, 4 April 2022

2022-04-04T11:31:09Z

← Older revision		Revision as of 11:31, 4 April 2022
Line 30:		Line 30:
	* <code>m=147483647</code> i <code>g=16807</code>.		* <code>m=147483647</code> i <code>g=16807</code>.

-	''~~Część druga~~'': '''test ~~widmowy~~''' (1 pkt.)	+	''Second part'': '''spectral test''' (1 pkt.)

-	~~Należy przeprowadzić~~ test ~~widmowy aby przetestować jakość generatora~~. By to ~~zrobić należy narysować na płaszczyźnie punkty o współrzędnych~~ <code>(x[n], x[n+1])</code>. ~~Uzyskany obraz utworzy wzór przypominający widmo generatora~~ - ~~stąd nazwa testu~~.	+	Please perform a spectral test to see what is the quality of the generator. In order to do so please draw plot on the <code>(x[n], x[n+1])</code> points from generated numbers. The obtained graph will show a spectral pattern of the generator - hence the name of the test.

-	~~Jeśli punkty będą rozłożone równomiernie generator można uznać za dobry~~. ~~Jeśli zdecydowanie widać pewną okresowość~~ - ~~punkty powtarzają się wielokrotnie - generator nie działa poprawnie~~. ~~Oczywiście na rozłożenie punktów wpływa jedynie dobór parametrów~~ <code>g</code> i <code>m</code>.	+	If the points are distributed uniformly, the test can be judged good. If they show a certain periodic pattern - the test doesn't work properly. Of course, for the position of the points what maters are the parameters <code>g</code> and <code>m</code>.

-	* ~~Do tworzenia wykresów widma poleca się użycie obiektów~~ <code>TH2D</code>.	+	* In order to draw spectral test, please use <code>TH2D</code>.

-	~~Wynikiem powinny być trzy wykresy widma~~.	+	As a result, we should have three spectral tests.

	''Część trzecia'': '''generacja liczb losowych oparta na transformacji rozkładu jednorodnego''' (3 pkt.)		''Część trzecia'': '''generacja liczb losowych oparta na transformacji rozkładu jednorodnego''' (3 pkt.)

Lgraczyk: Created page with "{| align="right" | TOC |} == Exercise == ''Part one'': '''linear congruent generator of pseudorandom numbers''' (1 pkt.) Please write a generator of pseudorandom numbers ..."

2022-04-04T11:26:55Z

Created page with "{| align="right" | __TOC__ |} == Exercise == ''Part one'': '''linear congruent generator of pseudorandom numbers''' (1 pkt.) Please write a generator of pseudorandom numbers ..."

New page

{| align="right"
| __TOC__
|}

== Exercise ==

''Part one'': '''linear congruent generator of pseudorandom numbers''' (1 pkt.)

Please write a generator of pseudorandom numbers and save generated numbers into a file.

The generator should be based on the following formula:

<code>x[j+1] = (g*x[j] + c) mod m.</code>

This generator is called LCG - linear congruent generator. Providing the first (beginning) number <code>x[0]</code> defines the whole series, which is periodic. The period depends on the parameters and under certain conditions it reaches maximum value of <code>m</code>. These conditions are:

* <code>c</code> and <code>m</code> do not have joint divisors,
* <code>b = g-1</code> is a multiply of every prime number <code>p</code>, which is a divisor of a number <code>m</code>,
* <code>b</code> is a multiply of 4 if <code>n</code> is also a multiply of 4.

For simplicity we can uuse <code>c = 0</code>, and in that case we get a multiplicative generator (MLCG).

* Value of <code>g</code> and <code>m</code> should be easy to modify in the program.

The result of the macro execution should be a file with the name name.dat containing a series of generated numbers for a given set of parameters. The macro should be executed three times, resulting in three files: <code>random1.dat, random2.dat, random3.dat</code>, for the following parameters, respectively:

* <code>m=97</code> i <code>g=23</code>,
* <code>m=32363</code> i <code>g=157</code>,
* <code>m=147483647</code> i <code>g=16807</code>.

''Część druga'': '''test widmowy''' (1 pkt.)

Należy przeprowadzić test widmowy aby przetestować jakość generatora. By to zrobić należy narysować na płaszczyźnie punkty o współrzędnych <code>(x[n], x[n+1])</code>. Uzyskany obraz utworzy wzór przypominający widmo generatora - stąd nazwa testu.

Jeśli punkty będą rozłożone równomiernie generator można uznać za dobry. Jeśli zdecydowanie widać pewną okresowość - punkty powtarzają się wielokrotnie - generator nie działa poprawnie. Oczywiście na rozłożenie punktów wpływa jedynie dobór parametrów <code>g</code> i <code>m</code>.

* Do tworzenia wykresów widma poleca się użycie obiektów <code>TH2D</code>.

Wynikiem powinny być trzy wykresy widma.

''Część trzecia'': '''generacja liczb losowych oparta na transformacji rozkładu jednorodnego''' (3 pkt.)

Dowolna funkcja zmiennej losowej jest zmienną losową. Powstaje więc pytanie jaka jest gęstość zmiennej losowej Y jeżeli znana jest gęstość <code>f(x)</code>. Zakładamy, że prawdopodobieństwo <code>g(y)dy</code> jest równe <code>f(x)dx</code>, gdzie <code>dx</code> odpowiada wartością <code>dy</code>. Warunek jest spełniony dla odpowiednio małych <code>dx</code>. Wynika stąd, że:

<code>g(y) = dx/dy f(x)</code>

Teraz jeżeli założymy, że gęstość prawdopodobieństwa <code>f(x)</code> wynosi 1 w <code>0<=x<=1</code> i <code>f(x) = 0</code> dla <code>x<= 0 i x>1</code> to powyższe równanie możemy zapisać w postaci:

<code>g(y)dy = dx = dG(y),</code>

gdzie <code>G(y)</code> jest dystrybuantą zmiennej losowej <code>Y</code>. Co po całkowaniu daje nam

<code>x = G(y) => y = G^-1(x).</code>

Jeśli zmienna losowa <code>X</code> ma rozkład jednostajny na odcinku pomiędzy 0 i 1 oraz jeśli znana jest funkcja odwrotna <code>G^-1(x)</code> to funkcja <code>g(y)</code> opisuje gęstość prawdopodobieństwa rozkładu zmiennej losowej Y.

Używając tej metody należy wygenerować 10000 liczb z rozkładu:

[[File:Lab06_wzor.png]]

Dla <code>tau = 2</code>:

* Należy wygenerować 10000 liczb z rozkładu 0 do 1 używając generatora z części pierwszej ('''zapisać do pliku wartości xn makrem z pierwszej części a następnie je wczytać w makrze z części drugiej''').
* Analitycznie (na kartce) policzyć dystrybuantę tego rozkładu, a następnie funkcję odwrotną. (1 pkt.)
* Wygenerować rozkład <code>f(x)</code> - wrzucając wygenerowane wartości do histogramu - korzystając z: (1 pkt.)
** liczb wygenerowanych wcześniej i wczytanych z plików <code>losowe1.dat, losowe2.dat, losowe3.dat</code>,
** standardowego generatora ROOT'a, np. <code>gRandom->Uniform(1)</code> (obiekt gRandom istnieje domyślnie w uruchomionej instancji ROOT; można oczywiście również stworzyć samodzielnie obiekt TRandom - [https://root.cern.ch/root/html534/TRandom.html link]).
* Narysować na jednym wykresie histogram (odpowiednio unormowany) oraz funkcję teoretyczną <code>f(x)</code> (obiekt <code>TF1</code>). (1 pkt.)

== Uwagi ==
* '''Czytamy dokładnie Wykład 4 ([http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2019/Wyklad4-2019.pdf link]), zwłaszcza slajdy 6 oraz 18-25
* '''Na samym początku, przed losowaniem, musimy samodzielnie ustawić wartość pierwszej liczby pseudolosowej x0 (tzw. ziarno, "seed"). Jeżeli chcemy, by za każdym razem liczby pseudolosowe były inne, możemy je ustawić z zegara systemowego:'''
x0 = time(NULL);
* Parametry histogramów z obrazków poniżej:
TH1D *hUniform = new TH1D("hUniform","Uniform distribution",100,0,1);
TH2D *hCorr = new TH2D("hCorr","Correlation",100,xmin,xmax,100,0,1);
* Ilość losowań w części pierwszej:
const int N = 1000000;
* Wczytywanie danych z pliku:
ifstream ifile;
ifile.open("dane.dat");
double val;
while(ifile>>val)
{
cout<<val<<endl;
}
ifile.close();

* Zapisywanie danych do pliku:
ofstream ofile;
ofile.open("dane.dat");
for(int i=0;i<N;i++)
ofile<<val<<endl;
}
ofile.close();

== Wynik ==
Przykładowy rozkład dla parametrów:
* <code>m=97, g=23</code>
[[File:lab06_n97_g23_2.png]]
* <code>m=2147483647, g=16807</code>
[[File:lab06_n2147483647_g16807_2.png]]

Przykładowy wynik transformacji rozkładu jednorodnego:

[[File:lab06_b_2.png]]