KADD 2022 Laboratorium 10 EN - Revision history

Lgraczyk: /* Attention */

2022-05-16T11:25:30Z

Attention

← Older revision		Revision as of 11:25, 16 May 2022
Line 35:		Line 35:
	* There are two lines in the graph below (histogram) - blue and red. One is an auto-fit with <code> Fit </code>, the other is a manual procedure described above.		* There are two lines in the graph below (histogram) - blue and red. One is an auto-fit with <code> Fit </code>, the other is a manual procedure described above.
	* For the Poisson distribution in the form of such "steps" we use the function <code> TMath :: PoissonI </code> ([https://root.cern.ch/root/html534/TMath.html#TMath:PoissonI link])		* For the Poisson distribution in the form of such "steps" we use the function <code> TMath :: PoissonI </code> ([https://root.cern.ch/root/html534/TMath.html#TMath:PoissonI link])
-	* The quantile of the chi-square distribution with the appropriate number of degrees of freedom to perform the test can be read from Exercise 9 (previous classes) - so we drew these chi-square distributions.	+	* The quantile of the chi-square distribution with the appropriate number of degrees of freedom to perform the test can be read from Exercise 9 (previous classes) - that is why we drew these chi-square distributions last time.

	== Result ==		== Result ==

Lgraczyk: /* Attention */

2022-05-16T11:25:03Z

Attention

← Older revision		Revision as of 11:25, 16 May 2022
Line 27:		Line 27:

	== Attention ==		== Attention ==
-	* ~~Nasze zadanie~~ to '''~~ręczne~~'~~'' przeprowadzenie czynności wykonywanych automatycznie przez funkcję~~ <code>Fit</code>.	+	* Our task is to ''manually'' carry out the actions performed automatically by the <code> Fit </code> function.
-	* ~~Zadanie zawiera w sobie dwie części~~: ~~wyznaczenie parametru rozkładu Poissona~~ ''~~'metodą największej wiarygodności''' (~~maximum likelihood~~), szukając~~ '''~~estymatora o najniższej wariancji~~'''. ~~Czytamy zatem~~: Wykład 9 [http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2019/Wyklad9-2019.pdf link] - o metodzie największej wiarygodności, od początku do slajdu 24 (to są części teoretyczne z wyprowadzeniami), dalej Wykład 10 [http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/~~KADD2019~~/Wyklad10-~~2019~~.pdf link]	+	* The problem consists of two parts: determining the parameter of the Poisson distribution ''by the maximum likelihood method'', looking for the ''estimator with the lowest variance''. So we read: Lecture 10 [http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2022/Wyklad10-2022.pdf link] - about the maximum likelihood method for Poissonian distribution
-	* ~~Funkcja wiarygodności to ogólnie rzecz biorąc funkcja rozkładu prawdopodobieństwa dla~~ '''~~parametrów~~'~~'' badanego rozkładu~~, ~~okreslana na podstawie próby losowej~~ (~~jeżeli badamy np. rozkład wzrostu Polaków~~ f(x), ~~gdzie~~ X ~~to zmienna losowa okreslająca wzrost Polaków~~, np. ~~rozkład Gaussa o dwóch parametrach~~ (~~średnia~~, ~~odchylenie~~), to L ~~będzie funkcją wiarygodności~~, ~~rozkładem prawdopodobieństwa parametrów średniej i odchylenia~~ -> ~~szukamy maksimum funkcji~~ L, ~~które da nam najbardziej wiarygodne wartości parametrów średnia i odchylenie funkcji~~ f(x))	+	* The likelihood function is, in general, a probability distribution function for the ''parameters'' of the analyzed distribution, determined on the basis of a random sample (if, for example, we study the growth distribution of Poles f (x), where X is a random variable determining the height of Poles, e.g. Gaussian distribution with two parameters (mean, deviation), then L will be the likelihood function, probability distribution of the parameters of the mean and deviation -> we are looking for the maximum of the L function, which will give us the most reliable values of the parameters mean and deviation of the function f (x))
-	* ~~Szukanie parametrów metodą największej wiarygodności polega na rozwiązaniu równań wiarygodności~~, ~~które są niczym innym tylko warunkami koniecznymi na istnienie maksimum funkcji~~ L (~~zgodnie z analizą matematyczna~~ - ~~liczymy odpowiednie pochodne~~)	+	* Searching for parameters using the maximum likelihood method consists in solving the likelihood equations, which are nothing more than the conditions necessary for the existence of the maximum of the L function (according to the mathematical analysis - we calculate the appropriate derivatives)
-	* ~~Dla rozkładu Poissona estymator o najniższej wariancji otrzymany metodą największej wiarygodności wynika z rozwiązania równania wiarygodności~~ (~~jedno równanie~~, ~~bo jeden parametr~~ Lambda) ~~- slajd 14 na Wykładzie 11~~ [http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/~~KADD2019~~/~~Wyklad11~~-~~2019~~.pdf link]	+	* For the Poisson distribution, the estimator with the lowest variance obtained by the maximum likelihood method results from the solution of the likelihood equation (one equation, because one Lambda parameter) [http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/ KADD2022 / Wyklad10-2022.pdf link]
-	* ~~Druga część~~, ~~po znalezieniu estymatora o najwyższej wiarygodności~~, ~~polega na przeprowadzeniu testu~~ chi-~~kwadrat. W tym celu czytamy dokładnie Wykład 11 (zwłaszcza slajdy 7-16) [http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2019/Wyklad11-2019.pdf link]~~.	+	* The second part, after finding the estimator with the highest likelihood, is to perform a chi-square test. For this purpose, we read carefully Lecture 10
-	* ~~Na wykresie poniżej~~ (histogram) ~~są dwie linie~~ - ~~niebieska i czerwona~~. ~~Jedna z nich to dopasowanie dokonane automatycznie funkcją~~ <code>Fit</code>, ~~druga to ręczne dopasowanie sposeb powyżej~~.	+	* There are two lines in the graph below (histogram) - blue and red. One is an auto-fit with <code> Fit </code>, the other is a manual procedure described above.
-	* ~~Do rozkładu Poissona w postaci takich~~ "~~schodków~~" ~~stosujemy funkcję~~ <code>TMath::PoissonI</code> ([https://root.cern.ch/root/html534/TMath.html#TMath:PoissonI link])	+	* For the Poisson distribution in the form of such "steps" we use the function <code> TMath :: PoissonI </code> ([https://root.cern.ch/root/html534/TMath.html#TMath:PoissonI link])
-	* ~~Kwantyl rozkładu~~ chi-~~kwadrat o odpowiedniej liczbie stopni swobody do wykonania testu możemy odczytać z '''Zadania~~ 9~~'''~~ (~~poprzednie zajęcia~~) - ~~po to żeśmy te rozkłady~~ chi-~~kwadrat rysowali~~.	+	* The quantile of the chi-square distribution with the appropriate number of degrees of freedom to perform the test can be read from Exercise 9 (previous classes) - so we drew these chi-square distributions.

	== Result ==		== Result ==

Lgraczyk: /* Exercise */

2022-05-16T11:20:41Z

Exercise

← Older revision		Revision as of 11:20, 16 May 2022
Line 2:		Line 2:
	'''Statistical hypotheses testing''' (5 pkt.)		'''Statistical hypotheses testing''' (5 pkt.)

-	* The experiment of irradiating a hydrogen bubble chamber with a beam of photons was carried out in order to study the interaction of photons with protons. Photons create electron-positron pairs that can be used to monitor the photon beam. The frequency of images with 0,1,2, ... electron-positron pairs should follow the Poisson distribution. Data should be read from the [http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2016/lab10/dane10.txt file] (the first column shows the number of electron pairs in the image <code>k</code>, and the second column shows the number of photos containing <code>k</code> electron pairs). We can see that this distribution resembles the Poisson distribution - therefore we are trying to calculate the maximum likelihood estimator for the parameters of the Poisson distribution (see [http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2022/Wyklad10-~~2019~~.pdf Lecture 10]) (1 pkt.)	+	* The experiment of irradiating a hydrogen bubble chamber with a beam of photons was carried out in order to study the interaction of photons with protons. Photons create electron-positron pairs that can be used to monitor the photon beam. The frequency of images with 0,1,2, ... electron-positron pairs should follow the Poisson distribution. Data should be read from the [http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2016/lab10/dane10.txt file] (the first column shows the number of electron pairs in the image <code>k</code>, and the second column shows the number of photos containing <code>k</code> electron pairs). We can see that this distribution resembles the Poisson distribution - therefore we are trying to calculate the maximum likelihood estimator for the parameters of the Poisson distribution (see [http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2022/Wyklad10-2022.pdf Lecture 10]) (1 pkt.)

	* Narysować na jednym wykresie punkty pomiarowe i dopasowanie (metodą estymatora największej wiarygodności i funkcją Fit z ROOT'a użytą z parametrami "LR" - dopasowanie metodą największej wiarygodności). Funkcja TF1 do rysowania (i dopasowania ROOT'em) to TMath::PoissonI (1 pkt.)		* Narysować na jednym wykresie punkty pomiarowe i dopasowanie (metodą estymatora największej wiarygodności i funkcją Fit z ROOT'a użytą z parametrami "LR" - dopasowanie metodą największej wiarygodności). Funkcja TF1 do rysowania (i dopasowania ROOT'em) to TMath::PoissonI (1 pkt.)

Lgraczyk: /* Exercise */

2022-05-16T11:20:23Z

Exercise

← Older revision		Revision as of 11:20, 16 May 2022
Line 6:		Line 6:
	* Narysować na jednym wykresie punkty pomiarowe i dopasowanie (metodą estymatora największej wiarygodności i funkcją Fit z ROOT'a użytą z parametrami "LR" - dopasowanie metodą największej wiarygodności). Funkcja TF1 do rysowania (i dopasowania ROOT'em) to TMath::PoissonI (1 pkt.)		* Narysować na jednym wykresie punkty pomiarowe i dopasowanie (metodą estymatora największej wiarygodności i funkcją Fit z ROOT'a użytą z parametrami "LR" - dopasowanie metodą największej wiarygodności). Funkcja TF1 do rysowania (i dopasowania ROOT'em) to TMath::PoissonI (1 pkt.)

-	* ~~Sprawdzić jakość dopasowania za pomocą testu~~ χ2. ~~W tym celu należy zaimplementować funkcję obliczającą statystykę testową~~ χ2 ~~zgodnie z wzorem~~ [[File:wzor.png]]	+	* Check the quality of the fit with the χ2 test. For this purpose, a function for calculating the χ2 test statistic should be implemented according to the formul [[File:wzor.png]]
-	~~gdzie~~: nk - ~~liczba obserwacji w k-tym binie~~, npk - ~~przewidywana przez teorię liczba przypadków w k-tym binie tj~~.:	+	where: nk - number of observations in the kth bin, npk - the number of cases predicted by the theory in the kth bin, i.e .:

-	// h - histogram ~~danych~~	+	// h - data histogram
-	// g - ~~przewidywanie~~ "~~teoretyczne~~"	+	// g - "theoretical" prediction
	double chi2(TH1D h, TF1 f);		double chi2(TH1D h, TF1 f);

-	* ~~Okreslić liczbę stopni swobody i obliczyć wartość statystyki testowej~~. (1 ~~pkt.~~)	+	* Determine the number of degrees of freedom and calculate the value of the test statistic. (1 pt)

-	* ~~Zaimplementować funkcję zwracającą wynik testu~~ χ2 ~~na zadanym poziomie istotności~~ α tj.:	+	* Implement a function that returns the result of the χ2 test at a given significance level α, i.e .:
-	// true - ~~brak podstaw do odrzucenia hipotezy~~	+	// true - there is no reason to reject the hypothesis
-	// false - ~~sa podstawy do odrzucenia hipotezy~~	+	// false - there are grounds for rejecting the hypothesis
-	// ~~Parametry~~:	+	// Parameters:
-	// T - ~~wartosc statystyki testowej~~ chi2	+	// T - value of the chi2 test statistic
-	// alpha - ~~poziom istotnosci~~	+	// alpha - significance level
-	// ndf - ~~liczba stopni swobody rozkladu~~ chi2	+	// ndf - the number of degrees of freedom of chi2 distribution
	bool testChi2(double T, double alpha, int ndf);		bool testChi2(double T, double alpha, int ndf);

-	~~Wykorzystując zaimplementowaną funkcję zweryfikować hipotezę mówiacą~~, ~~że dane pomiarowe podlegają rozkładowi Poissona~~. ~~Dobrać odpowiednią wartość poziomu istotności~~. ~~Uwaga~~! Kwanyl ~~możemy odczytać z policzonej na ostatnich zajęciach dystrybuanty~~. (2 ~~pkt.~~)	+	Using the implemented function, verify the hypothesis that the measurement data are subject to the Poisson distribution. Select the appropriate value for the significance level. Warning! Kwanyl can be read from the distribution box counted in the last class. (2 pts)

	== Attention ==		== Attention ==

Lgraczyk: /* Exercise */

2022-05-16T11:17:21Z

Exercise

← Older revision		Revision as of 11:17, 16 May 2022
Line 2:		Line 2:
	'''Statistical hypotheses testing''' (5 pkt.)		'''Statistical hypotheses testing''' (5 pkt.)

-	* The experiment of irradiating a hydrogen bubble chamber with a beam of photons was carried out in order to study the interaction of photons with protons. Photons create electron-positron pairs that can be used to monitor the photon beam. The frequency of images with 0,1,2, ... electron-positron pairs should follow the Poisson distribution. Data should be read from the [http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2016/lab10/dane10.txt file] (the first column shows the number of electron pairs in the image <code>k</code>, and the second column shows the number of photos containing <code>k</code> electron pairs). We can see that this distribution resembles the Poisson distribution - therefore we are trying to calculate the maximum likelihood estimator for the parameters of the Poisson distribution (see[http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2022/Wyklad10-2019.pdf Lecture 10]) (1 pkt.)	+	* The experiment of irradiating a hydrogen bubble chamber with a beam of photons was carried out in order to study the interaction of photons with protons. Photons create electron-positron pairs that can be used to monitor the photon beam. The frequency of images with 0,1,2, ... electron-positron pairs should follow the Poisson distribution. Data should be read from the [http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2016/lab10/dane10.txt file] (the first column shows the number of electron pairs in the image <code>k</code>, and the second column shows the number of photos containing <code>k</code> electron pairs). We can see that this distribution resembles the Poisson distribution - therefore we are trying to calculate the maximum likelihood estimator for the parameters of the Poisson distribution (see [http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2022/Wyklad10-2019.pdf Lecture 10]) (1 pkt.)

	* Narysować na jednym wykresie punkty pomiarowe i dopasowanie (metodą estymatora największej wiarygodności i funkcją Fit z ROOT'a użytą z parametrami "LR" - dopasowanie metodą największej wiarygodności). Funkcja TF1 do rysowania (i dopasowania ROOT'em) to TMath::PoissonI (1 pkt.)		* Narysować na jednym wykresie punkty pomiarowe i dopasowanie (metodą estymatora największej wiarygodności i funkcją Fit z ROOT'a użytą z parametrami "LR" - dopasowanie metodą największej wiarygodności). Funkcja TF1 do rysowania (i dopasowania ROOT'em) to TMath::PoissonI (1 pkt.)

Lgraczyk: /* Exercise */

2022-05-16T11:17:12Z

Exercise

← Older revision		Revision as of 11:17, 16 May 2022
Line 2:		Line 2:
	'''Statistical hypotheses testing''' (5 pkt.)		'''Statistical hypotheses testing''' (5 pkt.)

-	* ~~Przeprowadzono eksperyment naświetlania wodorowej komory pęcherzykowej wiązką fotonów w celu badania oddziaływań fotonów z protonami~~. ~~Fotony powodują powstawanie par elektron~~-~~pozyton, które mogą być wykorzystane do monitorowania wiązki fotonów~~. ~~Częstość występowania zdjęć z~~ 0,1,2,... ~~parami elektron~~-~~pozyton powinna podlegać rozkładowi Poissona~~. ~~Należy wczytać dane z~~ [http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2016/lab10/dane10.txt ~~pliku~~] (~~w pierwszej kolumnie znajduje się liczba par elektronowych na zdjęciu~~ <code>k</code>, ~~a w drugiej liczba zdjęć zawierających~~ <code>k</code> ~~par elektronowych~~). ~~Widzimy, że rozkład ten przypomina rozkład Poissona~~ - ~~próbujemy zatem obliczyć estymator największej wiarygodności dla parametry rozkładu Poissona~~ (~~patrz~~ [http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2022/Wyklad10-~~2022~~.pdf ~~Wykład~~ 10]) (1 pkt.)	+	* The experiment of irradiating a hydrogen bubble chamber with a beam of photons was carried out in order to study the interaction of photons with protons. Photons create electron-positron pairs that can be used to monitor the photon beam. The frequency of images with 0,1,2, ... electron-positron pairs should follow the Poisson distribution. Data should be read from the [http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2016/lab10/dane10.txt file] (the first column shows the number of electron pairs in the image <code>k</code>, and the second column shows the number of photos containing <code>k</code> electron pairs). We can see that this distribution resembles the Poisson distribution - therefore we are trying to calculate the maximum likelihood estimator for the parameters of the Poisson distribution (see[http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2022/Wyklad10-2019.pdf Lecture 10]) (1 pkt.)

	* Narysować na jednym wykresie punkty pomiarowe i dopasowanie (metodą estymatora największej wiarygodności i funkcją Fit z ROOT'a użytą z parametrami "LR" - dopasowanie metodą największej wiarygodności). Funkcja TF1 do rysowania (i dopasowania ROOT'em) to TMath::PoissonI (1 pkt.)		* Narysować na jednym wykresie punkty pomiarowe i dopasowanie (metodą estymatora największej wiarygodności i funkcją Fit z ROOT'a użytą z parametrami "LR" - dopasowanie metodą największej wiarygodności). Funkcja TF1 do rysowania (i dopasowania ROOT'em) to TMath::PoissonI (1 pkt.)

Lgraczyk at 11:02, 16 May 2022

2022-05-16T11:02:43Z

← Older revision		Revision as of 11:02, 16 May 2022
Line 1:		Line 1:
-	== ~~Zadanie~~ ==	+	== Exercise ==
-	'''~~Weryfikacja hipotez statystycznych~~''' (5 pkt.)	+	'''Statistical hypotheses testing''' (5 pkt.)

-	* Przeprowadzono eksperyment naświetlania wodorowej komory pęcherzykowej wiązką fotonów w celu badania oddziaływań fotonów z protonami. Fotony powodują powstawanie par elektron-pozyton, które mogą być wykorzystane do monitorowania wiązki fotonów. Częstość występowania zdjęć z 0,1,2,... parami elektron-pozyton powinna podlegać rozkładowi Poissona. Należy wczytać dane z [http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2016/lab10/dane10.txt pliku] (w pierwszej kolumnie znajduje się liczba par elektronowych na zdjęciu <code>k</code>, a w drugiej liczba zdjęć zawierających <code>k</code> par elektronowych). Widzimy, że rozkład ten przypomina rozkład Poissona - próbujemy zatem obliczyć estymator największej wiarygodności dla parametry rozkładu Poissona (patrz [http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/~~KADD2019~~/~~Wyklad11~~-~~2019~~.pdf Wykład 11] ~~slajd 14~~) (1 pkt.)	+	* Przeprowadzono eksperyment naświetlania wodorowej komory pęcherzykowej wiązką fotonów w celu badania oddziaływań fotonów z protonami. Fotony powodują powstawanie par elektron-pozyton, które mogą być wykorzystane do monitorowania wiązki fotonów. Częstość występowania zdjęć z 0,1,2,... parami elektron-pozyton powinna podlegać rozkładowi Poissona. Należy wczytać dane z [http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2016/lab10/dane10.txt pliku] (w pierwszej kolumnie znajduje się liczba par elektronowych na zdjęciu <code>k</code>, a w drugiej liczba zdjęć zawierających <code>k</code> par elektronowych). Widzimy, że rozkład ten przypomina rozkład Poissona - próbujemy zatem obliczyć estymator największej wiarygodności dla parametry rozkładu Poissona (patrz [http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2022/Wyklad10-2022.pdf Wykład 10]) (1 pkt.)

	* Narysować na jednym wykresie punkty pomiarowe i dopasowanie (metodą estymatora największej wiarygodności i funkcją Fit z ROOT'a użytą z parametrami "LR" - dopasowanie metodą największej wiarygodności). Funkcja TF1 do rysowania (i dopasowania ROOT'em) to TMath::PoissonI (1 pkt.)		* Narysować na jednym wykresie punkty pomiarowe i dopasowanie (metodą estymatora największej wiarygodności i funkcją Fit z ROOT'a użytą z parametrami "LR" - dopasowanie metodą największej wiarygodności). Funkcja TF1 do rysowania (i dopasowania ROOT'em) to TMath::PoissonI (1 pkt.)
Line 26:		Line 26:
	Wykorzystując zaimplementowaną funkcję zweryfikować hipotezę mówiacą, że dane pomiarowe podlegają rozkładowi Poissona. Dobrać odpowiednią wartość poziomu istotności. Uwaga! Kwanyl możemy odczytać z policzonej na ostatnich zajęciach dystrybuanty. (2 pkt.)		Wykorzystując zaimplementowaną funkcję zweryfikować hipotezę mówiacą, że dane pomiarowe podlegają rozkładowi Poissona. Dobrać odpowiednią wartość poziomu istotności. Uwaga! Kwanyl możemy odczytać z policzonej na ostatnich zajęciach dystrybuanty. (2 pkt.)

-	== ~~Uwagi~~ ==	+	== Attention ==
	* Nasze zadanie to '''ręczne''' przeprowadzenie czynności wykonywanych automatycznie przez funkcję <code>Fit</code>.		* Nasze zadanie to '''ręczne''' przeprowadzenie czynności wykonywanych automatycznie przez funkcję <code>Fit</code>.
	* Zadanie zawiera w sobie dwie części: wyznaczenie parametru rozkładu Poissona '''metodą największej wiarygodności''' (maximum likelihood), szukając '''estymatora o najniższej wariancji'''. Czytamy zatem: Wykład 9 [http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2019/Wyklad9-2019.pdf link] - o metodzie największej wiarygodności, od początku do slajdu 24 (to są części teoretyczne z wyprowadzeniami), dalej Wykład 10 [http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2019/Wyklad10-2019.pdf link]		* Zadanie zawiera w sobie dwie części: wyznaczenie parametru rozkładu Poissona '''metodą największej wiarygodności''' (maximum likelihood), szukając '''estymatora o najniższej wariancji'''. Czytamy zatem: Wykład 9 [http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2019/Wyklad9-2019.pdf link] - o metodzie największej wiarygodności, od początku do slajdu 24 (to są części teoretyczne z wyprowadzeniami), dalej Wykład 10 [http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2019/Wyklad10-2019.pdf link]
Line 37:		Line 37:
	* Kwantyl rozkładu chi-kwadrat o odpowiedniej liczbie stopni swobody do wykonania testu możemy odczytać z '''Zadania 9''' (poprzednie zajęcia) - po to żeśmy te rozkłady chi-kwadrat rysowali.		* Kwantyl rozkładu chi-kwadrat o odpowiedniej liczbie stopni swobody do wykonania testu możemy odczytać z '''Zadania 9''' (poprzednie zajęcia) - po to żeśmy te rozkłady chi-kwadrat rysowali.

-	== ~~Wynik~~ ==	+	== Result ==

	[[File:Lab10_2.png]]		[[File:Lab10_2.png]]
Line 50:		Line 50:
	ERR DEF= 0.5		ERR DEF= 0.5

-	Lambda ~~najwiekszej wiarygodnosci~~: 2.33239	+	Lambda of the highest likelihood: 2.33239
	Lambda (ROOT Fit): 2.33737		Lambda (ROOT Fit): 2.33737
-	chi2 (~~wartosc statystyki testowej~~ T): 10.5336	+	chi2 (value of the test statistics T): 10.5336
	chi2/NDF: 1.7556		chi2/NDF: 1.7556
	chi2 (ROOT Fit): 9.85507		chi2 (ROOT Fit): 9.85507
	chi2 (ROOT Fit)/NDF: 1.40787		chi2 (ROOT Fit)/NDF: 1.40787
-	~~Poziom istotnosci~~ alpha: 0.01	+	Significance level alpha: 0.01
-	~~Wynik testu~~: ~~nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy~~	+	Test result: no grounds to reject the null hypothesis

Lgraczyk: Created page with "== Zadanie == '''Weryfikacja hipotez statystycznych''' (5 pkt.) * Przeprowadzono eksperyment naświetlania wodorowej komory pęcherzykowej wiązką fotonów w celu badania oddz..."

2022-05-16T11:00:27Z

Created page with "== Zadanie == '''Weryfikacja hipotez statystycznych''' (5 pkt.) * Przeprowadzono eksperyment naświetlania wodorowej komory pęcherzykowej wiązką fotonów w celu badania oddz..."

New page

== Zadanie ==
'''Weryfikacja hipotez statystycznych''' (5 pkt.)

* Przeprowadzono eksperyment naświetlania wodorowej komory pęcherzykowej wiązką fotonów w celu badania oddziaływań fotonów z protonami. Fotony powodują powstawanie par elektron-pozyton, które mogą być wykorzystane do monitorowania wiązki fotonów. Częstość występowania zdjęć z 0,1,2,... parami elektron-pozyton powinna podlegać rozkładowi Poissona. Należy wczytać dane z [http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2016/lab10/dane10.txt pliku] (w pierwszej kolumnie znajduje się liczba par elektronowych na zdjęciu <code>k</code>, a w drugiej liczba zdjęć zawierających <code>k</code> par elektronowych). Widzimy, że rozkład ten przypomina rozkład Poissona - próbujemy zatem obliczyć estymator największej wiarygodności dla parametry rozkładu Poissona (patrz [http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2019/Wyklad11-2019.pdf Wykład 11] slajd 14) (1 pkt.)

* Narysować na jednym wykresie punkty pomiarowe i dopasowanie (metodą estymatora największej wiarygodności i funkcją Fit z ROOT'a użytą z parametrami "LR" - dopasowanie metodą największej wiarygodności). Funkcja TF1 do rysowania (i dopasowania ROOT'em) to TMath::PoissonI (1 pkt.)

* Sprawdzić jakość dopasowania za pomocą testu χ2. W tym celu należy zaimplementować funkcję obliczającą statystykę testową χ2 zgodnie z wzorem [[File:wzor.png]]
gdzie: nk - liczba obserwacji w k-tym binie, npk - przewidywana przez teorię liczba przypadków w k-tym binie tj.:

// h - histogram danych
// g - przewidywanie "teoretyczne"
double chi2(TH1D *h, TF1 *f);

* Okreslić liczbę stopni swobody i obliczyć wartość statystyki testowej. (1 pkt.)

* Zaimplementować funkcję zwracającą wynik testu χ2 na zadanym poziomie istotności α tj.:
// true - brak podstaw do odrzucenia hipotezy
// false - sa podstawy do odrzucenia hipotezy
// Parametry:
// T - wartosc statystyki testowej chi2
// alpha - poziom istotnosci
// ndf - liczba stopni swobody rozkladu chi2
bool testChi2(double T, double alpha, int ndf);

Wykorzystując zaimplementowaną funkcję zweryfikować hipotezę mówiacą, że dane pomiarowe podlegają rozkładowi Poissona. Dobrać odpowiednią wartość poziomu istotności. Uwaga! Kwanyl możemy odczytać z policzonej na ostatnich zajęciach dystrybuanty. (2 pkt.)

== Uwagi ==
* Nasze zadanie to '''ręczne''' przeprowadzenie czynności wykonywanych automatycznie przez funkcję <code>Fit</code>.
* Zadanie zawiera w sobie dwie części: wyznaczenie parametru rozkładu Poissona '''metodą największej wiarygodności''' (maximum likelihood), szukając '''estymatora o najniższej wariancji'''. Czytamy zatem: Wykład 9 [http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2019/Wyklad9-2019.pdf link] - o metodzie największej wiarygodności, od początku do slajdu 24 (to są części teoretyczne z wyprowadzeniami), dalej Wykład 10 [http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2019/Wyklad10-2019.pdf link]
* Funkcja wiarygodności to ogólnie rzecz biorąc funkcja rozkładu prawdopodobieństwa dla '''parametrów''' badanego rozkładu, okreslana na podstawie próby losowej (jeżeli badamy np. rozkład wzrostu Polaków f(x), gdzie X to zmienna losowa okreslająca wzrost Polaków, np. rozkład Gaussa o dwóch parametrach (średnia, odchylenie), to L będzie funkcją wiarygodności, rozkładem prawdopodobieństwa parametrów średniej i odchylenia -> szukamy maksimum funkcji L, które da nam najbardziej wiarygodne wartości parametrów średnia i odchylenie funkcji f(x))
* Szukanie parametrów metodą największej wiarygodności polega na rozwiązaniu równań wiarygodności, które są niczym innym tylko warunkami koniecznymi na istnienie maksimum funkcji L (zgodnie z analizą matematyczna - liczymy odpowiednie pochodne)
* Dla rozkładu Poissona estymator o najniższej wariancji otrzymany metodą największej wiarygodności wynika z rozwiązania równania wiarygodności (jedno równanie, bo jeden parametr Lambda) - slajd 14 na Wykładzie 11 [http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2019/Wyklad11-2019.pdf link]
* Druga część, po znalezieniu estymatora o najwyższej wiarygodności, polega na przeprowadzeniu testu chi-kwadrat. W tym celu czytamy dokładnie Wykład 11 (zwłaszcza slajdy 7-16) [http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2019/Wyklad11-2019.pdf link].
* Na wykresie poniżej (histogram) są dwie linie - niebieska i czerwona. Jedna z nich to dopasowanie dokonane automatycznie funkcją <code>Fit</code>, druga to ręczne dopasowanie sposeb powyżej.
* Do rozkładu Poissona w postaci takich "schodków" stosujemy funkcję <code>TMath::PoissonI</code> ([https://root.cern.ch/root/html534/TMath.html#TMath:PoissonI link])
* Kwantyl rozkładu chi-kwadrat o odpowiedniej liczbie stopni swobody do wykonania testu możemy odczytać z '''Zadania 9''' (poprzednie zajęcia) - po to żeśmy te rozkłady chi-kwadrat rysowali.

== Wynik ==

[[File:Lab10_2.png]]

Output:
FCN=5.75356 FROM MIGRAD STATUS=CONVERGED 29 CALLS 30 TOTAL
EDM=5.17016e-07 STRATEGY= 1 ERROR MATRIX ACCURATE
EXT PARAMETER STEP FIRST
NO. NAME VALUE ERROR SIZE DERIVATIVE
1 p0 3.55268e+02 1.88558e+01 3.25727e-02 3.68816e-05
2 p1 2.33737e+00 8.17264e-02 1.40382e-04 -2.26405e-03
ERR DEF= 0.5

Lambda najwiekszej wiarygodnosci: 2.33239
Lambda (ROOT Fit): 2.33737
chi2 (wartosc statystyki testowej T): 10.5336
chi2/NDF: 1.7556
chi2 (ROOT Fit): 9.85507
chi2 (ROOT Fit)/NDF: 1.40787
Poziom istotnosci alpha: 0.01
Wynik testu: nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy